C++ 强连通分量 - 缩点(Tarjan算法)

本文介绍了Tarjan算法用于求解有向图的强连通分量,强调了算法原理和在洛谷P3387题中的应用。通过深度优先搜索,利用dfn和low值判断强连通分量,并提供了代码实现。

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目录:

简介缩点

实现


简介缩点:

        如果两个顶点可以相互通达,则称两个顶点强连通 ( strongly connected ) 。

        如果有向图G的每两个顶点都强连通,称 G 是一个强连通图。有向图的极大强连通子图,称为强连通分量 ( strongly connected components ) 。

        Tarjan 算法是用来求有向图的强连通分量的。求有向图的强连通分量的 Tarjan 算法是以其发明者 Robert Tarjan 命名的。Robert Tarjan 还发明了求双连通分量的Tarjan算法。


实现:

        老规矩,引入例题: 洛谷 P3387 【模板】缩点 

        分析:需要找出一条点权最大的路径就行了,不限制点的个数。考虑对于一个环上的点被选择了,那么一整条环都被选择。很关键的是题目还允许重复经过某条边或者某个点,因此整个环实际上可以看成一个点(选了其中一个点就应该选其他的点)。

        显然,是一道缩点 + 拓扑排序

        既然缩点,就不得不提一下 Tarjan 算法:

        Tarjan 算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量

<think>好的,我现在需要给用户介绍C++中的Tarjan强连通分量算法。首先,我得回忆一下Tarjan算法的基本概念和步骤,确保自己理解正确。 Tarjan算法是由Robert Tarjan提出的,用于寻找有向图中的强连通分量(SCC)。强连通分量指的是图中最大的子图,其中任意两个顶都可以互相到达。这个算法使用深度优先搜索(DFS)来遍历图,并通过维护一个栈和一些辅助数组来跟踪节的访问状态。 接下来,我应该分步骤详细说明算法的实现过程。首先,每个节都有一个索引(index)和低链接值(lowlink)。索引表示节被访问的顺序,低链接值是该节能回溯到的最早访问的节的索引。当某个节的低链接值等于其索引时,说明找到了一个强连通分量,需要将栈中的节弹出,直到当前节为止,这些节组成一个SCC。 然后,我需要考虑如何在C++中实现这个算法。通常会用邻接表来表示图结构,使用栈来保存当前路径上的节,以及两个数组来存储索引和低链接值。还需要一个布尔数组来记录节是否在栈中,以避免重复处理。 可能会遇到的问题包括如何初始化这些数组,如何处理未访问的节,以及在DFS过程中如何更新低链接值。例如,当访问一个已经在栈中的节时,需要比较当前节的低链接值和目标节的索引,取较小值来更新当前的低链接值。 此外,需要注意递归DFS的实现细节,比如递归终止条件,以及何时将节弹出栈并记录SCC。代码示例需要清晰,变量命名要合理,确保用户能够理解每一步的作用。 最后,我应该测试一下这个算法,比如使用一个简单的有向图来验证输出是否正确。例如,对于包含四个节的图,边为0→1,1→2,2→0,1→3,算法应该输出两个SCC:{0,1,2}和{3}。 在编写代码示例时,要注意注释和格式,帮助用户理解关键步骤。同时,要提醒用户关于时间复杂度的部分,Tarjan算法的时间复杂度是O(V+E),适合处理较大的图结构。 总结下来,我需要结构清晰地介绍算法原理、步骤,并提供可运行的C++代码示例,确保用户能够理解并实现该算法。同时,要检查是否有遗漏的关键,比如栈的使用和低链接值的更新逻辑,确保解释准确无误。</think>以下是关于Tarjan强连通分量算法的逐步说明和C++实现: **算法核心思想** 1. 通过DFS遍历图时维护一个栈 2. 使用两个关键数组: - $index[]$ 记录访问顺序 - $lowLink[]$ 记录能回溯到的最早节 3. 当$lowLink[u] == index[u]$时,栈顶到当前节的元素构成一个SCC **算法步骤** 1. 初始化全局计数器和标记数组 2. 对未访问的节进行DFS 3. 每次DFS时: - 设置当前节的index和lowLink - 将节压入栈并标记在栈中 4. 遍历邻接节- 如果未访问,递归访问并更新lowLink - 如果已在栈中,更新lowLink值 5. 发现根节时弹出栈中元素构成SCC **C++实现代码** ```cpp #include <vector> #include <stack> #include <algorithm> using namespace std; vector<vector<int>> sccTarjan(vector<vector<int>>& graph) { int n = graph.size(), index = 0; vector<int> indexMap(n, -1), lowLink(n, -1); vector<bool> onStack(n, false); stack<int> st; vector<vector<int>> scc; auto dfs = [&](auto self, int u) -> void { indexMap[u] = lowLink[u] = index++; st.push(u); onStack[u] = true; for(int v : graph[u]) { if(indexMap[v] == -1) { // 未访问 self(self, v); lowLink[u] = min(lowLink[u], lowLink[v]); } else if(onStack[v]) { // 已在栈中 lowLink[u] = min(lowLink[u], indexMap[v]); } } if(lowLink[u] == indexMap[u]) { // 发现SCC vector<int> component; while(true) { int v = st.top(); st.pop(); onStack[v] = false; component.push_back(v); if(v == u) break; } scc.push_back(component); } }; for(int i = 0; i < n; ++i) { if(indexMap[i] == -1) { dfs(dfs, i); } } return scc; } ``` **算法特征** - 时间复杂度:$O(V + E)$(线性时间) - 空间复杂度:$O(V)$(栈和辅助数组) -:单次DFS即可找出所有SCC **使用示例** ```cpp // 构造图:0→1→2→0,1→3 vector<vector<int>> graph = { {1}, // 0 {2,3}, // 1 {0}, // 2 {} // 3 }; auto components = sccTarjan(graph); // 输出结果:[[3], [0,1,2]] ``` **应用场景** 1. 编译器中的代码优化 2. 电子电路分析 3. 社交网络社群发现 4. 代码依赖分析 5. 强连通性检测 关键理解:$lowLink[u]$的更新策略既包含前向边的更新(递归返回时),也包含横向边的更新(遇到栈中节时),这保证了能正确识别环路结构。当某个节的lowLink等于其index值时,说明找到了环路的根节
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