SRM536-div2-3-MergersDivTwo

zz: http://www.strongczq.com/2012/03/srm536-div2-3-mergersdivtwo.html

题目原文：http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=11802&rd=14728

题目大意：

     将n个公司合并为一个公司，可以分多次合并，每次合并的公司数量至少为k个，一次合并产生的新公司收益为各参与合并公司的收益均值。现给定数组int[] rs 表示这n个公司的收益，问最终合并后的公司收益最大值可以是多少。

     数据规模：n为[2,50], k为[2,n], 每个公司的收益范围为[-1000,1000]

思路：

      题中描述的公司合并方式存在一个规律：就是一个公司参与合并的次数越多，那么他对最终公司收益值的影响越小。因为每次合并m个公司，相当于各个参与合并公司的收益都除以m，一个公司参与合并的次数越多最终除的次数也越多，对最终公司收益值的影响也越小。根据这个规律我们可以猜想最优合并策略中，每次合并都是选取收益最小的哪些公司进行合并的，而如此合并出的新公司收益必定又是最小的，所以合并的过程实际上类似与一颗只沿着一边往上增长的树。

     根据这个猜想， 考虑使用dp算法。先让rs数组从小到大排序，dp方程为f(m)，表示前m个公司进行多次合并得到的最大收益值。状态转移方程为，计算f(m)时考虑以下情况：

• 如果m< 2*k - 1，则只能对这m个公司进行一次合并，计算这些公司的收益均值即可；
• 否则，考虑最优合并策略下最后一次合并有j个公司，那么这j个公司的收益必然是f(m - j + 1), rs[m - j + 1], ..., rs[m - 1],计算这些公司的均值即可。

     算法的时间复杂度为O(n*n)，空间复杂度为O(n)。

     下面证明以上的猜想。

    

       公司的合并过程可以用如上图所示的一个树来表示，叶子节点表示最原始的n个公司。将rs数组从小到大排序，用w[]表示最优合并策略中这n个公司在最终收益中占的权重，则w数组必然也是从小到大排序的。这里定义上图中完全由叶子节点合并的过程为“原始合并”，属于同一个原始合并的公司必然拥有相同的权重。则权重最小的那个原始合并包含的公司必然是收益最小的那一批，那么这些公司可以作为第一次合并的公司。也就是说，必然存在一个最优合并策略，每一次合并都是选取收益最小的那一批公司。

     Java代码：

public class MergersDivTwo {
    public double findMaximum(int[] rs, int k) {
        Arrays.sort(rs);
        int n = rs.length;
        double[] dp = new double[n];
        Arrays.fill(dp, -2000);

        for (int len = k; len <= n; ++len) {
            double sum = 0;
            for (int j = len - 1; j >= 0; --j) {
                if (j >= k - 1 && len - j >= k) {
                    double ave = (sum + dp[j]) / (len - j);
                    dp[len - 1] = Math.max(dp[len - 1], ave);
                }
                sum += rs[j];
            }
            dp[len - 1] = Math.max(dp[len - 1], sum / len);
        }
        return dp[n - 1];
    }