二分查找题目：搜索旋转排序数组

题目

标题和出处

标题：搜索旋转排序数组

出处：33. 搜索旋转排序数组

难度

5 级

题目描述

要求

整数数组 $\text{nums}$ 按升序排序，数组中的值各不相同。

在传递给函数之前，$\text{nums}$ 可能在预先未知的某个下标 $\text{k}$（$\text{0}\le \text{k}<\text{nums.length}$）上进行了旋转，使数组变为 $\text{[nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]}$（下标从 $\text{0}$ 开始计数）。例如，$\text{[0,1,2,4,5,6,7]}$ 可能在下标 $\text{3}$ 处旋转，变为 $\text{[4,5,6,7,0,1,2]}$。

给定可能经过旋转后的数组 $\text{nums}$ 和一个整数 $\text{target}$，如果 $\text{nums}$ 中存在目标值 $\text{target}$，则返回它的下标，否则返回 $\text{-1}$。

要求时间复杂度是 $\text{O(log n)}$。

示例

示例 1：

输入：$\text{nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0}$
输出：$\text{4}$

示例 2：

输入：$\text{nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3}$
输出：$\text{-1}$

示例 3：

输入：$\text{nums = [1], target = 0}$
输出：$\text{-1}$

数据范围

• $\text{1}\le \text{nums.length}\le \text{5000}$
• ${\text{-10}}^{\text{4}}\le \text{nums[i]}\le {\text{10}}^{\text{4}}$
• $\text{nums}$ 中的每个值各不相同
• $\text{nums}$ 是升序数组，可能进行了旋转
• ${\text{-10}}^{\text{4}}\le \text{target}\le {\text{10}}^{\text{4}}$

解法

思路和算法

这道题中给定的数组是将升序数组可能旋转之后的数组。将升序数组旋转之后得到的数组整体不是有序的，但是可以分成两个有序子数组，因此同样可以使用二分查找的方法查找目标值。

由于数组中的每个值各不相同，因此如果数组经过旋转，则旋转之后的数组的首元素一定大于末尾元素。对于数组中的任意数，可以根据该数与数组的首元素和末尾元素的大小关系得到其在哪个有序子数组中。

用 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 分别表示二分查找的下标范围的下界和上界，初始时 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 分别为数组的最小下标和最大下标。每次查找时，$[\text{low},\text{high}]$ 可能是一个有序子数组或者两个有序子数组，取 $\text{mid}$ 为 $\text{low}$ 和 $\text{high}$ 的平均数向下取整，得到下标 $\text{mid}$ 处的数，判断该数是否等于目标值以及位于哪一个有序子数组中，调整查找的下标范围。

• 如果 $\text{nums}[\text{mid}]=\text{target}$，则找到目标值，返回其下标 $\text{mid}$。

• 如果 $\text{nums}[\text{low}]\le \text{nums}[\text{mid}]$，则下标范围 $[\text{low},\text{high}]$ 中有一个有序子数组或者两个有序子数组，下标 $\text{mid}$ 位于以下标 $\text{low}$ 开始的有序子数组中。此时将目标值与 $\text{nums}[\text{low}]$ 和 $\text{nums}[\text{mid}]$ 比较，调整查找的下标范围。

  • 如果 $\text{nums}[\text{low}]\le \text{target}<\text{nums}[\text{mid}]$，则如果目标值存在，一定位于下标范围 $[\text{low},\text{mid}-1]$ 中，因此在下标范围 $[\text{low},\text{mid}-1]$ 中继续查找。

  • 否则，如果目标值存在，一定位于下标范围 $[\text{mid}+1,\text{high}]$ 中，因此在下标范围 $[\text{mid}+1,\text{high}]$ 中继续查找。

• 如果 $\text{nums}[\text{low}]>\text{nums}[\text{mid}]$，则下标范围 $[\text{low},\text{high}]$ 中有两个有序子数组，下标 $\text{mid}$ 位于以下标 $\text{high}$ 结束的有序子数组中。此时将目标值与 $\text{nums}[\text{high}]$ 和 $\text{nums}[\text{mid}]$ 比较，调整查找的下标范围。

  • 如果 $\text{nums}[\text{mid}]<\text{target}\le \text{nums}[\text{high}]$，则如果目标值存在，一定位于下标范围 $[\text{mid}+1,\text{high}]$ 中，因此在下标范围 $[\text{mid}+1,\text{high}]$ 中继续查找。

  • 否则，如果目标值存在，一定位于下标范围 $[\text{low},\text{mid}-1]$ 中，因此在下标范围 $[\text{low},\text{mid}-1]$ 中继续查找。

如果查找的过程中出现 $\text{low}>\text{high}$，则目标值不存在，返回 $-1$。

代码

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int low = 0, high = nums.length - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + (high - low) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
			}
            if (nums[low] <= nums[mid]) {
                if (target >= nums[low] && target < nums[mid]) {
                    high = mid - 1;
                } else {
                    low = mid + 1;
                }
            } else {
                if (target <= nums[high] && target > nums[mid]) {
                    low = mid + 1;
                } else {
                    high = mid - 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log n)$，其中 $n$ 是数组 $\text{nums}$ 的长度。二分查找的次数是 $O(\log n)$，每次查找的时间是 $O(1)$，时间复杂度是 $O(\log n)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。