23、椭圆曲线密码系统与智能卡加密应用解析

椭圆曲线密码系统与智能卡加密应用解析

1. 椭圆曲线密码系统基础

椭圆曲线可用于定义一个群，记为 E(K)，其元素包含椭圆曲线上的所有点以及 0。在该群中，加法运算定义为：过两个点作直线（若两点相同，则直线为曲线的切线），此直线与曲线必有第三个交点，该交点关于 x 轴的对称点即为两点相加的结果，其中 0 的对称点仍是 0，且对于椭圆曲线上的任意点 P，都有 P + 0 = 0 + P = P。求一个点的逆元时，过该点作平行于 y 轴的直线，若此直线为切线，则该点自身就是逆元；若不是切线，则直线与曲线的另一个交点就是逆元。

在密码学中，主要使用 E(GF(m)) 形式的椭圆曲线，即 E(GF(p)) 和 E(GF(2n))。

1.1 椭圆曲线密码系统原理

对于群 E(GF(m))，由于历史原因其运算被称为加法，但乘法运算也是可行的，因此多次点相加可表示为指数函数，其逆运算则可表示为对数。E(GF(m)) 有一个重要特性：存在有效的指数函数计算算法，但对数计算却缺乏有效算法。这使得基于离散对数的所有密码算法都能借助 E(GF(m)) 实现。椭圆曲线密码系统（ECC）就是一种基于离散对数的非对称算法，它用 E(GF(m)) 中的计算替代了 GF(p) 中的计算。在 ECC 中，指定了群 GF(m) 以及由其构建的群 E(GF(m)) ，指数的参数为自然数，指数函数的底数是 E(GF(m)) 的元素。

1.2 为何使用 ECC

• 计算效率 ：E(GF(m)) 中两点相加涉及 GF(m) 中的多次计算。虽然 GF(m) 中的幂运算比 E(GF(m)) 中的幂运算轻松，但已知