43、精确推理：团树

精确推理：团树

在概率图模型的精确推理中，变量消除算法是一种有效的方法，它通过对因子的操作来避免直接生成整个联合分布。本章将介绍基于相同思想的另一种实现——团树（Clique Trees），它利用更全局的数据结构来调度因子操作，带来了意外的计算优势。

1. 变量消除与团树

变量消除算法的基本操作是因子的操作。每一步计算通过乘以现有因子创建一个新因子 $\psi_i$，然后消除其中一个变量生成新因子 $\tau_i$，用于后续计算。我们可以将因子 $\psi_i$ 看作一个计算数据结构，它接收其他因子 $\psi_j$ 生成的“消息” $\tau_j$，并生成一个消息 $\tau_i$ 供其他因子使用。

1.1 簇图（Cluster Graphs）

簇图是一种数据结构，它为因子操作过程提供了图形化的流程图。簇图中的每个节点是一个簇（Cluster），与一组变量相关联；图中包含无向边，连接那些作用域有非空交集的簇。

定义 1.1 ：对于一组变量 $X$ 上的因子集合 $\Phi$，簇图 $U$ 是一个无向图，其每个节点 $i$ 与一个子集 $C_i \subseteq X$ 相关联。簇图必须满足家族保留性质（Family Preservation），即每个因子 $\phi \in \Phi$ 必须与一个簇 $C_i$ 相关联，记为 $\alpha(\phi)$，使得 $Scope[\phi] \subseteq C_i$。每对簇 $C_i$ 和 $C_j$ 之间的边与一个分隔集 $S_{i,j} \subseteq C_i \cap C_j$ 相关联。

变量消除的执行过程定义了一个簇