19、概率图模型中的参数化与网络转换

概率图模型中的参数化与网络转换

在概率图模型中，参数化和不同类型网络之间的转换是重要的研究内容。本文将深入探讨马尔可夫网络的参数化问题，以及贝叶斯网络与马尔可夫网络之间的转换关系。

1. 马尔可夫网络的参数化问题

在马尔可夫网络中，标准的表示方式存在参数化的模糊性问题。对于某些情况，即使能量函数的值发生了变化，但由于能量函数的总和保持不变，实例的概率并不会改变。这意味着同一个分布可以用无限多种方式表示为马尔可夫网络。因此，选择一种合适的参数化方式是很有必要的。

1.1 规范参数化

规范参数化是一种避免吉布斯分布 $P$ 参数化模糊性的自然方法。它要求分布 $P$ 是正的，并且使用能量函数来描述更为方便。为了方便，我们考虑对 $P$ 进行对数变换，对于任何对 $X$ 的赋值 $\xi$，用 $\ell(\xi)$ 表示 $\ln P(\xi)$。

规范参数化通过对所有团的一组能量函数来定义。例如，对于一个马尔可夫网络，会有针对不同团的能量函数，包括多个变量的团、变量对、单变量集以及空团的能量函数。

规范参数化是相对于网络变量 $X$ 的一个特定固定赋值 $\xi^ = (x_1^ , \ldots, x_n^ )$ 定义的。对于任何变量子集 $Z$ 和包含 $Z$ 的 $X$ 的某个子集的赋值 $x$，我们定义 $x_Z$ 为 $x$ 中对 $Z$ 变量的赋值，$\xi_{-Z}^ $ 为 $\xi^*$ 中对 $Z$ 之外变量的赋值。

团 $D$ 的规范能量函数定义如下：
[
\epsilon_D^ (d) = \sum_{