33、图论中的图oidal长度与点集支配研究

图论中的图oidal长度与点集支配研究

1. 图oidal长度相关概念

在图论中，研究图的性质和特征是一个重要的课题。图oidal长度和图oidal覆盖数是其中两个关键的概念。
- 图oidal覆盖 ：对于一个有限图 (G=(V, E))，图oidal覆盖 (\Psi) 是图 (G) 中一系列路径（不一定是开放路径）的集合，满足图 (G) 的每个顶点最多是 (\Psi) 中一条路径的内部顶点，并且图 (G) 的每条边恰好位于 (\Psi) 中的一条路径上。
- 图oidal覆盖数 ：图 (G) 的图oidal覆盖数 (\eta(G)) 是图 (G) 的图oidal覆盖的最小基数。具有基数 (\eta(G)) 的图oidal覆盖称为 (\eta) - 图oidal覆盖。
- 图oidal长度 ：图oidal覆盖 (\Psi) 的长度 (gl_{\Psi}(G)) 定义为 (gl_{\Psi}(G) = \min{l(P) : P \in \Psi})，其中 (l(P)) 是路径 (P) 的长度。图 (G) 的图oidal长度 (gl(G)) 定义为 (gl(G) = \max{gl_{\Psi}(G) : \Psi \text{ 是图 } G \text{ 的图oidal覆盖}})。

以下是一些特殊图的图oidal长度情况：
| 图类型 | 图oidal长度公式 |
| ---- | ---- |
| 路径 (P_n) | (gl(P_n) = n - 1 = l(P_n))，(n \geq 3) |
| 循环 (C_n