32、图论中的独立二点集支配与图oidal长度特性研究

图论中的独立二点集支配与图oidal长度特性研究

1. 独立二点集支配相关概念

在图论中，独立二点集支配（Independent 2 - Point Set Domination）是一个重要的概念。有一些关于特定类型图的重要结论：
- 每个完全二部图 (K_{m,n})（(m, n \geq 1)）都是 (i - 2psd) 图。
- 每个分裂图也是 (i - 2psd) 图。

对于块图（block graph），它是指每个块都是完全图的图。我们对可分的 (i - 2psd) 块图进行了刻画，有如下定理：
一个可分块图 (G) 是 (i - 2psd) 图当且仅当存在一个顶点 (w) 使得 (V(G) - N(w)) 是独立的。
下面是该定理的证明：
- 必要性 ：
- 若 (G) 没有非平凡块，那么 (G) 是一棵树，根据相关定理，其直径 (diam(G) \leq 4)。在这种情况下，(G) 显然满足定理条件，其中 (w) 是 (G) 中心的一个顶点。
- 假设 (G) 有一个非平凡块 (B)，设 (D) 是 (G) 的一个 (i - 2psd) 集。
- 若 (D \cap V(B) = \varnothing)，根据相关定理，(V - D = V(B))，且 (B) 的每个顶点都是割点。因为 (D = V(G) - V(B)) 是独立的，所以 (V(G) - V(B)) 的所有顶点都是悬挂顶点，其支撑点在 (V(B)) 中。因此，(G) 满足定理条件，其中唯一的非平凡块是 (B)，(w) 是 (V(B)) 中的任意顶点。
- 若 (D \cap V(B) \neq