5、图的同距数及相关概念解读

图的同距数及相关概念解读

在图论研究中，图的同距数是一个重要的概念，它与图的各种性质和结构密切相关。本文将深入探讨图的同距数及其相关概念，包括不同类型图的同距数定理、正则图的同距数情况，以及一些相关图参数的研究。

基本图论概念

• 距离遗传图 ：在距离遗传图中，任何连通导出子图中的距离与原图中的距离相同。
• 通用顶点 ：与图中所有其他顶点都相邻的顶点。
• 悬挂顶点 ：度数为 1 的顶点。
• (n, m)-风筝图 ：由一个 $K_n$ 图和一个包含 m 个顶点的路径组成，并在 $K_n$ 中的一个顶点和路径中的一个悬挂顶点之间添加一条边。
• 友谊图 ：由 k 个共享一个公共顶点的三角形组成的图。
• 几乎不规则图 ：恰好有一对顶点度数相同的图。
• 假双胞胎顶点和真双胞胎顶点 ：若 $N(u) = N(v)$，则 u 和 v 为假双胞胎顶点；若 $N[u] = N[v]$，则为真双胞胎顶点，其中 $N[u] = N(u) ∪{u}$。

同距数定理

• 定理 1 ：若 G 是距离遗传图，H 是 G 的连通导出子图，则 $h(H) ⩽ h(G)$。
  • 证明思