24、多元推断与回归分析中的应用

多元推断与回归分析中的应用

在回归分析中，当我们处理大量预测变量时，会遇到一些问题。下面将详细介绍多元推断的相关内容，包括问题的产生、解决方法以及实际应用案例。

1. 多元推断问题的产生

在某些应用场景中，进行回归分析时可能会有大量的预测变量（即 p 值很大）。我们通常希望找出哪些预测变量对因变量 Y 有显著影响，为此会为每个回归系数 βi 构建置信区间。然而，即使所有真实的 βi 都接近 0，当 p 值很大时，至少有一个置信区间偶然远离 0 的概率也会很高。这就产生了所谓的多元推断或同时推断问题。

2. 解决多元推断问题的方法

为了解决多元推断问题，这里介绍两种方法：Bonferroni 方法和 Scheffe 方法。

2.1 Bonferroni 不等式

假设我们要构建两个 95% 的置信区间，直观上，它们的总体置信水平可能只有约 90%。形式上，设 Ai（i = 1, 2）表示区间未能覆盖其相应总体参数的事件，则有：
[P(A1 \text{ 或 } A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 \text{ 且 } A2) \leq P(A1) + P(A2)]
即至少有一个区间失败的概率至多为 2 * 0.05 = 0.10。如果我们希望总体置信水平达到 95%，则可以构建两个 97.5% 的置信区间，这样能确保总体置信水平至少为 95%。

通过数学归纳法，可将其推广到 k 个置信区间的情况：
[P(A1 \text{ 或 } A2 \text{ 或 } … \text{ 或 } Ak) \leq \sum_{i=1}^{k} P(Ai)]