12、周转齿轮传动系统的速度分析与计算

周转齿轮传动系统的速度分析与计算

1. 单周转齿轮机构的速度计算

在单周转齿轮机构中，我们可以通过不同的方法来计算齿轮的角速度。

1.1 经典方法计算齿轮 3 的角速度

首先，我们使用经典方法来计算齿轮 3 的角速度。以下是具体的代码实现：

syms omega3
omega3_ = [0 0 omega3];
% angular velocity of gear 3
% vE4_ is the velocity of E on link 4 (C=C4)
vE4_ = vF_ + cross(omega4_, rE_-rF_);
% E is a revolute joint => vE3_ = vE4_
vE3_ = vE4_;
% vD3_ is the velocity of D on gear 3 (D=D3)
vD3_ = vE3_ + cross(omega3_, rD_-rE_);
% vC2_ is the velocity of C on gear 2 (C=C2)
vC2_ = vB_ + cross(omega2_, rC_-rB_);
% vD2_ is the velocity of D on gear 2 (D=D2)
vD2_ = vC2_ + cross(omega2_, rD_-rC_);
% vD2_ = vD3_
eqvD_ = vD2_ - vD3_;
eqvDx = eqvD_(1); % (3)
eqvDy = eqvD_(2);
% Eq.(3)=>
omega3 = eval(solve(eqvDx));
fprintf('omega3 = %6.3f (rad/s)\n',omega3);
% omega3 = 25.537 (rad/s)

上述代码的步骤如下：
1. 定义符号变量 omega3 表示齿轮 3 的角速度。
2. 根据运动学关系，计算各个点的速度。
3. 建立速度相等的方程 eqvD_ 。
4. 求解方程得到齿轮 3 的角速度 omega3 。

1.2 轮廓法计算齿轮的角速度

轮廓法也是一种常用的计算齿轮角速度的方法。对于第一个轮廓 0->1->2->4->0 ，我们可以建立以下方程：

syms w21 w42 w04
w10_ = [0, 0, w1 ];
% w21 is the relative angular velocity of 2 with respect to 1 at B
w21_ = [0, 0, w21];
% w42 is the relative angular velocity of 4 with respect to 2 at C
w42_ = [0, 0, w42];
% w04 is the relative angular velocity of 0 with respect to 4 at F
w04_ = [0, 0, w04];
eq11_ = w10_ + w21_ + w42_ + w04_;
eq11z = eq11_(3); % (4)
eq12_ = cross(rB_, w21_) + cross(rC_, w42_) + cross(rF_, w04_);
eq12x = eq12_(1); % (5)
eq12y = eq12_(2); % (6)
% Eqs.(4)(5)(6)=>
sol1 = solve(eq11z, eq12x, eq12y);
w21 = eval(sol1.w21);
w42 = eval(sol1.w42);
w04 = eval(sol1.w04);
w40 = -w04;
% angular velocity of link 4
w20 = w1 + w21; % angular velocity of gear 2

对于第二个轮廓 2->4->3->2 ，我们可以建立以下方程：

syms w34 w23
w42_ = [0, 0, w42];
% w34 is the relative angular velocity of 3 with respect to 4 at E
w34_ = [0, 0, w34];
% w23 is the relative angular velocity of 2 with respect to 3 at D
w23_ = [0, 0, w23];
eq21_ = w42_ + w34_ + w23_;
eq21z = eq21_(3); % (7)
eq22_ = cross(rC_, w42_) + cross(rE_, w34_) + cross(rD_, w23_);
eq22x = eq22_(1); % (8)
eq22y = eq22_(2); % (9)
% Eqs.(7)(8)=>
sol2 = solve(eq21z, eq22x);
w34 = eval(sol2.w34);
w23 = eval(sol2.w23);
w30 = w40 + w34;
w3 = w20 - w23;
% angular velocity of gear 3
fprintf('w23 = %6.3f (rad/s)\n',w23)
fprintf('w34 = %6.3f (rad/s)\n',w34)
fprintf('w30 = %6.3f (rad/s)\n',w30)

轮廓法的步骤如下：
1. 定义相对角速度的符号变量。
2. 根据轮廓的运动关系，建立角速度和速度的方程。
3. 求解方程得到各个相对角速度。
4. 计算各个齿轮的绝对角速度。

2. 多行星周转齿轮传动系统的分析

多行星周转齿轮传动系统的分析相对复杂，我们需要考虑更多的齿轮和运动关系。

2.1 输入数据和基本参数计算

首先，我们需要输入一些基本数据，如齿轮的模数、齿数和转速等，并计算齿轮的节圆半径和齿数：

m = 24; % (mm) module of the gears
m = m*10^-3; % (m)
N1 = 22; % (teeth) no. of teeth of sun gear 1
N2 = 20; % (teeth) no. of teeth of planet gear 2
N2p = 35;% (teeth) no. of teeth of planet gear 2’
N4 = 15; % (teeth) no. of teeth of sun gear 4
N5 = 16; % (teeth) no. of teeth of planet gear 5
n3 = 200; % (rpm) angular velocity of ring gear 3
n6 = 150; % (rpm) angular velocity of ring gear 6
w3 = pi*n3/30; % (rad/s)
w6 = pi*n6/30; % (rad/s)
% angular velocities are along x-axis
omega3_ = [w3, 0, 0]; % angular velocity vector of 3
omega6_ = [w6, 0, 0]; % angular velocity vector of 6
r1 = m*N1/2; % (m) pitch radius of sun gear 1
r2 = m*N2/2; % (m) pitch radius of planet gear 2
r2p = m*N2p/2; % (m) pitch radius of planet gear 2’
r3 = r1 + r2 + r2p;
% (m) pitch radius of ring gear 3
r4 = m*N4/2; % (m) pitch radius of planet gear 4
r5 = m*N5/2; % (m) pitch radius of planet gear 5
r6 = r4 + 2*r5; % (m) pitch radius of ring gear 6
N3 = 2*r3/m; % (teeth) no. of teeth of ring gear 3
N6 = 2*r6/m; % (teeth) no. of teeth of ring gear 6

上述代码的步骤如下：
1. 输入齿轮的基本参数，如模数、齿数和转速。
2. 将模数转换为米为单位。
3. 计算各个齿轮的节圆半径和齿数。

2.2 经典方法计算齿轮的角速度

经典方法通过建立各个点的速度方程来计算齿轮的角速度。以下是计算行星齿轮 5 角速度的代码：

syms w1 w2 w4 w5
omega1_ = [w1, 0, 0]; % angular velocity of 1
omega2_ = [w2, 0, 0]; % angular velocity of 2
omega4_ = [w4, 0, 0]; % angular velocity of 4
omega5_ = [w5, 0, 0]; % angular velocity of 5
% G and E are on link 3
vG_ = vE_ + cross(omega3_, rG_-rE_);
% H and J are on link 6
vH6_ = vJ_ + cross(omega6_, rH_-rJ_); % link 6
vH5_ = vH6_;
% G and H are on link 5
vG5_ = vH5_ + cross(omega5_, rG_-rH_); % link 5
% velocity of G on link 5 is equal to velocity of G on link 3
eqw5_= vG5_-vG_; % (1)
% Eq.(1) =>
w5 = eval(solve(eqw5_(3)));
omega5_ = [w5 0 0];

计算太阳齿轮 4 角速度的代码如下：

% F and G are on link 5
vF_ = vG_ + cross(omega5_, rF_-rG_); % link 5
% F and E are on link 4
vF4_ = vE_ + cross(omega4_, rF_-rE_); % link 4
% velocity of F on link 5 is equal to velocity of F on link 4
eqw4_= vF4_-vF_; % (2)
% Eq.(2) =>
w4 = eval(solve(eqw4_(3)));
omega4_ = [w4 0 0];

计算行星齿轮 2 和 2’ 角速度的代码如下：

% D and E are on link 3
vD_ = vE_ + cross(omega3_, rD_-rE_); % link 3
% C and E are on link 4
vC_ = vE_ + cross(omega4_, rC_-rE_); % link 4
% D and C are on link 2
vD2_= vC_ + cross(omega2_, rD_-rC_); % link 2
% velocity of D on link 2 is equal to velocity of D on link 3
eqw2_= vD2_ - vD_; % (3)
% Eq.(3) =>
w2 = eval(solve(eqw2_(3)));
omega2_ = [w2 0 0];

计算太阳齿轮 1 角速度的代码如下：

% B and D are on link 2
vB_ = vD_ + cross(omega2_, rB_-rD_); % link 2
% B and A are on link 1
vB1_= vA_ + cross(omega1_, rB_-rA_); % link 1
% velocity of B on link 1 is equal to velocity of B on link 2
eqw1_= vB1_ - vB_; % (4)
% Eq.(4) =>
w1 = eval(solve(eqw1_(3)));
omega1_ = [w1 0 0];

经典方法的步骤如下：
1. 定义未知角速度的符号变量。
2. 根据各个点的运动关系，建立速度方程。
3. 求解方程得到各个齿轮的角速度。

2.3 轮廓法计算齿轮的角速度

对于多行星周转齿轮传动系统，有四个独立的轮廓。我们可以建立以下方程：

w03 = -w3; % relative angular velocity of 0 with respect to 3
w60 = w6;
% relative angular velocity of 6 with respect to 0
% contour I: 0-A-1-B-2-C-4-E-0 cw
syms w10 w21 w42 w04
omega10_ = [w10, 0, 0]; % relative angular velocity of 1 with respect to 0
omega21_ = [w21, 0, 0]; % relative angular velocity of 2 with respect to 1
omega42_ = [w42, 0, 0]; % relative angular velocity of 4 with respect to 2
omega04_ = [w04, 0, 0]; % relative angular velocity of 0 with respect to 4
eq11_ = omega10_ + omega21_ + omega42_ + omega04_;
eq1x = eq11_(1); % (5)
eq12_ = cross(rB_, omega21_) + cross(rC_, omega42_);
eq1z = eq12_(3); % (6)
% contour II: 0-A-1-B-2-D-3-E-0 ccw
syms w32
omega32_ = [w32, 0, 0]; % relative angular velocity of 3 with respect to 2
omega03_ = [w03, 0, 0]; % relative angular velocity of 0 with respect to 3
eq21_ = omega10_ + omega21_ + omega32_ + omega03_;
eq2x = eq21_(1); % (7)
eq22_ = cross(rB_, omega21_) + cross(rD_, omega32_);
eq2z = eq22_(3); % (8)
% contour III: 0-J-6-H-5-G-3-E-0 cw
syms w56 w35
omega60_ = [w60, 0, 0]; % relative angular velocity of 6 with respect to 0
omega56_ = [w56, 0, 0]; % relative angular velocity of 5 with respect to 6
omega35_ = [w35, 0, 0]; % relative angular velocity of 3 with respect to 5
eq31_ = omega60_ + omega56_ + omega35_ + omega03_;
eq3x = eq31_(1); % (9)
eq32_ = cross(rH_, omega56_) + cross(rG_, omega35_);
eq3z = eq32_(3); % (10)
% contour IIII: 3-D-2-C-4-F-5-G-3 ccw
syms w54
omega23_ = -omega32_; % relative angular velocity of 2 with respect to 3
omega54_ = [w54, 0, 0]; % relative angular velocity of 5 with respect to 4
eq41_ = omega23_ + omega42_ + omega54_ + omega35_;
eq4x = eq41_(1); % (11)
eq42_ = cross(rD_, omega23_) + cross(rC_, omega42_) + cross(rF_, omega54_) + cross(rG_, omega35_);
eq4z = eq42_(3); % (12)
% Eqs.(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)=>
sys= [eq1x eq1z eq2x eq2z eq3x eq3z eq4x eq4z];
sol = solve(sys);
w10 = eval(sol.w10);
w21 = eval(sol.w21);
w42 = eval(sol.w42);
w04 = eval(sol.w04);
w32 = eval(sol.w32);
w35 = eval(sol.w35);
w56 = eval(sol.w56);
w54 = eval(sol.w54);
w2 = w10+w21; % angular velocity of 2
w4 = -w04;
% angular velocity of 4
w5 = w4+w54;
% angular velocity of 5

轮廓法的步骤如下：
1. 定义已知的相对角速度。
2. 对于每个轮廓，定义相对角速度的符号变量。
3. 根据轮廓的运动关系，建立角速度和速度的方程。
4. 联立所有方程求解得到各个相对角速度。
5. 计算各个齿轮的绝对角速度。

3. 问题与求解

为了更好地理解和应用上述方法，我们可以通过一些问题来进行练习。

问题编号	齿轮参数	输入条件	求解目标
7.1	太阳齿轮 1 有 16 个齿，行星齿轮 2 有 30 个齿，齿轮 4 有 22 个齿，齿圈 3’ 有 84 个齿，模数为 22mm	齿轮 1 以 120rpm 的速度旋转	齿轮 4 的角速度
7.2	齿轮 1 有 24 个齿，齿轮 2 有 22 个齿，齿轮 3 有 20 个齿，齿轮 1’ 有 32 个齿，行星齿轮 4 有 28 个齿，齿轮 5 有 24 个齿，齿轮 6 有 19 个齿，模数为 10mm	齿轮 1 以 180rpm 的速度旋转	齿轮 5 的角速度，并比较经典方法和轮廓法的结果
7.3	太阳齿轮 1 有 18 个齿，行星齿轮 2 有 42 个齿，行星齿轮 2’ 有 21 个齿，齿轮 3’ 有 21 个齿，齿轮 4 有 28 个齿，齿轮 4’ 有 14 个齿，模数为 24mm	齿轮 1 以 -160rpm 的速度旋转	齿轮 5 的角速度，使用经典方法和轮廓法
7.4	太阳齿轮 1 有 20 个齿，行星齿轮 2 有 29 个齿，行星齿轮 2’ 有 21 个齿，模数为 20mm	太阳齿轮 1 以 273rpm 的速度旋转	齿轮 3 和齿轮 4 的角速度，使用经典方法和轮廓法
7.5	太阳齿轮 1 有 20 个齿，行星齿轮 2 有 13 个齿，行星齿轮 2’ 有 11 个齿，模数为 30mm	齿轮 1 以 200rpm 的速度旋转，齿轮 3 以 -160rpm 的速度旋转	齿轮 2 和杆 4 的角速度，使用经典方法和轮廓法

以下是解决这些问题的一般步骤：
1. 根据问题的输入条件，确定齿轮的基本参数。
2. 选择合适的方法（经典方法或轮廓法）。
3. 按照相应方法的步骤建立方程。
4. 求解方程得到所需的角速度。

通过以上的分析和计算，我们可以更好地理解周转齿轮传动系统的运动学特性，并掌握不同方法的应用。在实际工程中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来计算齿轮的角速度，以满足设计和分析的需求。

周转齿轮传动系统的速度分析与计算（续）

4. 经典方法与轮廓法的对比

经典方法和轮廓法是计算周转齿轮传动系统角速度的两种常用方法，它们各有特点，以下是对这两种方法的详细对比：

对比项目	经典方法	轮廓法
原理	通过建立各个点的速度方程，利用运动学关系求解齿轮的角速度。	根据齿轮系统的轮廓，建立相对角速度和速度的方程，通过联立方程求解各个齿轮的角速度。
优点	物理意义明确，直观易懂，对于简单的齿轮系统计算较为方便。	可以处理复杂的多行星周转齿轮传动系统，通过建立多个轮廓方程，能够全面考虑系统的运动关系。
缺点	对于复杂的齿轮系统，需要建立大量的速度方程，计算过程繁琐，容易出错。	方程的建立和求解相对复杂，需要对齿轮系统的轮廓有清晰的认识。
适用场景	适用于简单的周转齿轮传动系统，特别是只有少数几个齿轮的情况。	适用于复杂的多行星周转齿轮传动系统，当齿轮数量较多、运动关系复杂时，轮廓法更具优势。

通过对比可以看出，在实际应用中，我们需要根据齿轮系统的复杂程度和具体需求来选择合适的方法。如果齿轮系统较为简单，经典方法可以快速准确地得到结果；如果齿轮系统复杂，轮廓法能够更好地处理系统的运动关系。

5. 代码实现的注意事项

在使用 MATLAB 代码实现上述方法时，需要注意以下几点：

1. 符号变量的定义 ：在 MATLAB 中，使用 syms 函数定义符号变量，确保在建立方程时使用正确的符号变量。例如：

syms omega3 w21 w42 w04

2. 方程的建立 ：根据运动学关系和轮廓关系建立方程时，要注意向量的运算和方程的正确性。例如，在使用 cross 函数进行向量叉乘时，要确保向量的维度和方向正确。

3. 方程的求解 ：使用 solve 函数求解方程时，要确保方程的数量和未知数的数量相匹配。如果方程数量不足，可能无法得到唯一解；如果方程数量过多，可能会导致无解。例如：

sol = solve(eq11z, eq12x, eq12y);

4. 结果的处理 ：求解得到的结果通常是符号表达式，需要使用 eval 函数将其转换为数值。例如：

w21 = eval(sol.w21);

6. 实际应用案例分析

为了更好地说明周转齿轮传动系统速度分析的实际应用，我们以一个具体的案例进行分析。

假设我们有一个多行星周转齿轮传动系统，其参数如下：
- 太阳齿轮 1 的齿数 $N_1 = 22$
- 行星齿轮 2 的齿数 $N_2 = 20$
- 行星齿轮 2’ 的齿数 $N_{2’} = 35$
- 太阳齿轮 4 的齿数 $N_4 = 15$
- 行星齿轮 5 的齿数 $N_5 = 16$
- 齿圈 3 的转速 $n_3 = 200$ rpm
- 齿圈 6 的转速 $n_6 = 150$ rpm
- 齿轮的模数 $m = 24$ mm

我们的目标是计算各个齿轮的角速度。

6.1 经典方法求解

按照经典方法的步骤，我们可以编写以下代码：

m = 24; % (mm) module of the gears
m = m*10^-3; % (m)
N1 = 22; % (teeth) no. of teeth of sun gear 1
N2 = 20; % (teeth) no. of teeth of planet gear 2
N2p = 35;% (teeth) no. of teeth of planet gear 2’
N4 = 15; % (teeth) no. of teeth of sun gear 4
N5 = 16; % (teeth) no. of teeth of planet gear 5
n3 = 200; % (rpm) angular velocity of ring gear 3
n6 = 150; % (rpm) angular velocity of ring gear 6
w3 = pi*n3/30; % (rad/s)
w6 = pi*n6/30; % (rad/s)
% angular velocities are along x-axis
omega3_ = [w3, 0, 0]; % angular velocity vector of 3
omega6_ = [w6, 0, 0]; % angular velocity vector of 6
r1 = m*N1/2; % (m) pitch radius of sun gear 1
r2 = m*N2/2; % (m) pitch radius of planet gear 2
r2p = m*N2p/2; % (m) pitch radius of planet gear 2’
r3 = r1 + r2 + r2p;
% (m) pitch radius of ring gear 3
r4 = m*N4/2; % (m) pitch radius of planet gear 4
r5 = m*N5/2; % (m) pitch radius of planet gear 5
r6 = r4 + 2*r5; % (m) pitch radius of ring gear 6
N3 = 2*r3/m; % (teeth) no. of teeth of ring gear 3
N6 = 2*r6/m; % (teeth) no. of teeth of ring gear 6

syms w1 w2 w4 w5
omega1_ = [w1, 0, 0]; % angular velocity of 1
omega2_ = [w2, 0, 0]; % angular velocity of 2
omega4_ = [w4, 0, 0]; % angular velocity of 4
omega5_ = [w5, 0, 0]; % angular velocity of 5

% G and E are on link 3
vG_ = vE_ + cross(omega3_, rG_-rE_);
% H and J are on link 6
vH6_ = vJ_ + cross(omega6_, rH_-rJ_); % link 6
vH5_ = vH6_;
% G and H are on link 5
vG5_ = vH5_ + cross(omega5_, rG_-rH_); % link 5
% velocity of G on link 5 is equal to velocity of G on link 3
eqw5_= vG5_-vG_; % (1)
% Eq.(1) =>
w5 = eval(solve(eqw5_(3)));
omega5_ = [w5 0 0];

% F and G are on link 5
vF_ = vG_ + cross(omega5_, rF_-rG_); % link 5
% F and E are on link 4
vF4_ = vE_ + cross(omega4_, rF_-rE_); % link 4
% velocity of F on link 5 is equal to velocity of F on link 4
eqw4_= vF4_-vF_; % (2)
% Eq.(2) =>
w4 = eval(solve(eqw4_(3)));
omega4_ = [w4 0 0];

% D and E are on link 3
vD_ = vE_ + cross(omega3_, rD_-rE_); % link 3
% C and E are on link 4
vC_ = vE_ + cross(omega4_, rC_-rE_); % link 4
% D and C are on link 2
vD2_= vC_ + cross(omega2_, rD_-rC_); % link 2
% velocity of D on link 2 is equal to velocity of D on link 3
eqw2_= vD2_ - vD_; % (3)
% Eq.(3) =>
w2 = eval(solve(eqw2_(3)));
omega2_ = [w2 0 0];

% B and D are on link 2
vB_ = vD_ + cross(omega2_, rB_-rD_); % link 2
% B and A are on link 1
vB1_= vA_ + cross(omega1_, rB_-rA_); % link 1
% velocity of B on link 1 is equal to velocity of B on link 2
eqw1_= vB1_ - vB_; % (4)
% Eq.(4) =>
w1 = eval(solve(eqw1_(3)));
omega1_ = [w1 0 0];

fprintf('w1 = %6.3f (rad/s)\n',w1);
fprintf('w2 = %6.3f (rad/s)\n',w2);
fprintf('w4 = %6.3f (rad/s)\n',w4);
fprintf('w5 = %6.3f (rad/s)\n',w5);

6.2 轮廓法求解

按照轮廓法的步骤，我们可以编写以下代码：

m = 24; % (mm) module of the gears
m = m*10^-3; % (m)
N1 = 22; % (teeth) no. of teeth of sun gear 1
N2 = 20; % (teeth) no. of teeth of planet gear 2
N2p = 35;% (teeth) no. of teeth of planet gear 2’
N4 = 15; % (teeth) no. of teeth of sun gear 4
N5 = 16; % (teeth) no. of teeth of planet gear 5
n3 = 200; % (rpm) angular velocity of ring gear 3
n6 = 150; % (rpm) angular velocity of ring gear 6
w3 = pi*n3/30; % (rad/s)
w6 = pi*n6/30; % (rad/s)
% angular velocities are along x-axis
omega3_ = [w3, 0, 0]; % angular velocity vector of 3
omega6_ = [w6, 0, 0]; % angular velocity vector of 6
r1 = m*N1/2; % (m) pitch radius of sun gear 1
r2 = m*N2/2; % (m) pitch radius of planet gear 2
r2p = m*N2p/2; % (m) pitch radius of planet gear 2’
r3 = r1 + r2 + r2p;
% (m) pitch radius of ring gear 3
r4 = m*N4/2; % (m) pitch radius of planet gear 4
r5 = m*N5/2; % (m) pitch radius of planet gear 5
r6 = r4 + 2*r5; % (m) pitch radius of ring gear 6
N3 = 2*r3/m; % (teeth) no. of teeth of ring gear 3
N6 = 2*r6/m; % (teeth) no. of teeth of ring gear 6

w03 = -w3; % relative angular velocity of 0 with respect to 3
w60 = w6;
% relative angular velocity of 6 with respect to 0

% contour I: 0-A-1-B-2-C-4-E-0 cw
syms w10 w21 w42 w04
omega10_ = [w10, 0, 0]; % relative angular velocity of 1 with respect to 0
omega21_ = [w21, 0, 0]; % relative angular velocity of 2 with respect to 1
omega42_ = [w42, 0, 0]; % relative angular velocity of 4 with respect to 2
omega04_ = [w04, 0, 0]; % relative angular velocity of 0 with respect to 4
eq11_ = omega10_ + omega21_ + omega42_ + omega04_;
eq1x = eq11_(1); % (5)
eq12_ = cross(rB_, omega21_) + cross(rC_, omega42_);
eq1z = eq12_(3); % (6)

% contour II: 0-A-1-B-2-D-3-E-0 ccw
syms w32
omega32_ = [w32, 0, 0]; % relative angular velocity of 3 with respect to 2
omega03_ = [w03, 0, 0]; % relative angular velocity of 0 with respect to 3
eq21_ = omega10_ + omega21_ + omega32_ + omega03_;
eq2x = eq21_(1); % (7)
eq22_ = cross(rB_, omega21_) + cross(rD_, omega32_);
eq2z = eq22_(3); % (8)

% contour III: 0-J-6-H-5-G-3-E-0 cw
syms w56 w35
omega60_ = [w60, 0, 0]; % relative angular velocity of 6 with respect to 0
omega56_ = [w56, 0, 0]; % relative angular velocity of 5 with respect to 6
omega35_ = [w35, 0, 0]; % relative angular velocity of 3 with respect to 5
eq31_ = omega60_ + omega56_ + omega35_ + omega03_;
eq3x = eq31_(1); % (9)
eq32_ = cross(rH_, omega56_) + cross(rG_, omega35_);
eq3z = eq32_(3); % (10)

% contour IIII: 3-D-2-C-4-F-5-G-3 ccw
syms w54
omega23_ = -omega32_; % relative angular velocity of 2 with respect to 3
omega54_ = [w54, 0, 0]; % relative angular velocity of 5 with respect to 4
eq41_ = omega23_ + omega42_ + omega54_ + omega35_;
eq4x = eq41_(1); % (11)
eq42_ = cross(rD_, omega23_) + cross(rC_, omega42_) + cross(rF_, omega54_) + cross(rG_, omega35_);
eq4z = eq42_(3); % (12)

% Eqs.(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)=>
sys= [eq1x eq1z eq2x eq2z eq3x eq3z eq4x eq4z];
sol = solve(sys);
w10 = eval(sol.w10);
w21 = eval(sol.w21);
w42 = eval(sol.w42);
w04 = eval(sol.w04);
w32 = eval(sol.w32);
w35 = eval(sol.w35);
w56 = eval(sol.w56);
w54 = eval(sol.w54);
w2 = w10+w21; % angular velocity of 2
w4 = -w04;
% angular velocity of 4
w5 = w4+w54;
% angular velocity of 5

fprintf('w1 = %6.3f (rad/s)\n',w10);
fprintf('w2 = %6.3f (rad/s)\n',w2);
fprintf('w4 = %6.3f (rad/s)\n',w4);
fprintf('w5 = %6.3f (rad/s)\n',w5);

通过上述代码，我们可以分别使用经典方法和轮廓法计算出各个齿轮的角速度。在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的方法，并对代码进行适当的修改和优化。

6. 总结与展望

通过对周转齿轮传动系统速度分析的研究，我们深入了解了经典方法和轮廓法的原理和应用。经典方法和轮廓法各有优缺点，在实际应用中需要根据齿轮系统的复杂程度和具体需求来选择合适的方法。

在未来的研究中，我们可以进一步探索更高效、更准确的计算方法，以处理更加复杂的周转齿轮传动系统。同时，结合现代计算机技术和数值计算方法，开发更加智能化的计算工具，提高计算效率和精度。此外，还可以将周转齿轮传动系统的速度分析与其他领域的研究相结合，如动力学分析、优化设计等，为实际工程应用提供更全面的支持。

总之，周转齿轮传动系统的速度分析是机械工程领域中的一个重要研究方向，通过不断的研究和创新，我们可以更好地掌握周转齿轮传动系统的运动学特性，为机械设计和制造提供有力的支持。