71、PageRank算法：定义、计算与应用

PageRank算法：定义、计算与应用

1. PageRank的基本定义

在一个具有n个节点的强连通且非周期性有向图中，我们可以基于它定义一个随机游走模型，这是一个一阶马尔可夫链。假设其转移矩阵为$M$，在时间$0,1,2,\cdots,t,\cdots$访问每个节点的概率分布分别为$R_0,MR_0,M^2R_0,\cdots,M^tR_0,\cdots$。当$t$趋向于无穷大时，极限$\lim_{t \to \infty} M^tR_0 = R$存在，这个极限向量$R$代表了马尔可夫链的平稳分布，满足$MR = R$。

定义 ：给定一个包含$n$个节点$v_1,v_2,\cdots,v_n$的强连通且非周期性有向图，在该有向图上定义的随机游走模型（一阶马尔可夫链）中，从一个节点到所有通过有向边连接的节点的转移概率相等，转移矩阵为$M$。这个马尔可夫链的平稳分布$R$被称为该有向图的PageRank。$R$的每个分量称为每个节点的PageRank值，即$R = \begin{bmatrix}PR(v_1)\PR(v_2)\\vdots\PR(v_n)\end{bmatrix}$，其中$PR(v_i)$（$i = 1,2,\cdots,n$）表示节点$v_i$的PageRank值，显然有$PR(v_i) \geq 0$（$i = 1,2,\cdots,n$），且$\sum_{i = 1}^{n} PR(v_i) = 1$，同时$PR(v_i) = \sum_{v_j \in M(v_i)} \frac{PR(v_j)}{L(v_j)}$（$i = 1,2,\cdots,n$），这里$M(v_i)$表示指向节点$v_i$的节点集合，$L(v_j)$表示连接到节点$