利用对手论证法证明中位数问题的比较次数下界

对手论证法证明中位数问题比较次数下界

最新推荐文章于 2025-10-22 14:00:40 发布

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#算法 #each #n2

本文介绍了利用对手论证法证明求解n个数中位数问题至少需要3(n-1)/2次比较的原理。通过对手策略构造特殊输入，确保算法在最坏情况下进行尽可能多的非关键性比赛，从而得出比较次数的下界。

5个数通过6次比较求中位数的方法如下：

5个数之间的大小关系构成的一个树形图T。T中的一个结点代表一个数，而一条边代表它所关联的两个数的大小关系，T的根就是中位数。显然T中的一条边要由一次比赛来确定。在下面的图中，如果x大于y，则节点x在节点y的上方且x和y有一条边相连。另外，*表示一般的数，o表示下一次即将进行比较的两个数。

第1步，先任取两个数比较，结果为：

*
|
* o o *

第2步，再取另外两个数比较，结果为：

o o
| |
* * *

第3步，按照上图比较其中两个标记为o的数，比较结果只有一种情况：

   *
/ /
*   o
|
*      o

第4步，按照上图比较其中两个标记为o的数，比较结果有两种情况：

   *    o               *
/ / /               / /
o    *               o   o
|                    |   |
*                    *   *

第5步，按照上图比较其中两个标记为o的数，比较结果有两种情况：

*    *               *
/ / / /             /
/   //   /           /
|   //   |          /
| / / |         *
| /    / |         | /
|/      /|         | /
o        o         |   /
|                  o    o
|                       |
|                       |
*                       *

第6步，按照上图比较其中两个标记为o的数，比较结果有两种情况：

*   *         *   *            *               *
/ /           / /             |               |
x             x              *               *
|            / /             |               |
*           *   *            x

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