9、量子算法：原理、进展与挑战

量子算法：原理、进展与挑战

1. 引言

经典计算理论主要基于通用图灵机模型，它能在有限时间内完成任何现代经典数字计算机可做的计算。该理论将计算机器的物理特性抽象掉，成为数学的一个分支，研究计算无需实验，仅靠纯思维即可。然而，信息的存储、传输和处理总是通过物理手段进行的。当计算机向更小尺寸发展时，量子力学的描述变得必要。

理查德·费曼最早预见到量子计算机的非凡能力。他在1981年指出，用经典概率计算机高效模拟一般量子演化似乎是不可能的，因为描述量子态所需的经典信息随时间呈指数增长。但他认为这是一个机会，提出用量子力学设备可能高效模拟量子演化，并设想了通用量子模拟器。1985年，大卫·多伊奇证明了通用量子计算机的存在，为量子计算这一新兴领域奠定了基础。

此后，一系列不断改进的量子算法相继出现。1994年，彼得·肖尔设计出首个原则上能高效进行因数分解的量子算法，因数分解的困难性支撑着许多常见加密方法的安全性，如RSA公钥密码系统，因此因数分解迅速成为量子计算机的“杀手级应用”。如今，虽然提出的量子算法数量不多，但对其底层结构有了更深入的理解，人们正在寻找能支持量子计算机并使其实用化的技术。

2. 计算复杂性

为解决特定问题，计算机遵循一组精确的指令，这组指令的规范称为算法。算法有快慢之分，若执行算法所需时间的增长不超过输入规模的多项式函数，则称该算法是高效的。通常，输入规模以指定输入所需的总比特数衡量，执行时间以计算步骤数计算。

计算复杂性理论根据解决问题所需算法的效率对问题进行分类，考察解决问题最难实例所需的最短时间和空间（内存）。常见的复杂性类包括：
- P类 ：能在多项