数学中，同号相乘一定为正吗？

在数学中，有一个基本问题一直没有弄清楚，这就是同号为正，异号为负的乘法规则，这个规则中学老师只是把它作为一个圣旨教授给学生，但却没有一个严格的证明。进入大学之后我们不难发现，这个规则已经成了近代数学的一个基石，在他的基础上建立起了非常严格的复变函数论，现在这一理论已经深入每一门科学中，求解量子力学严格解，求电磁方程解都离不开。那么，这个规则能否得到严格的论证，这是我们将要谈到的问题。

         在《什么是数学》这本书中说到：对数学家来说，经过了很长一断时间才认识到这个是不能加以证明的。甚至欧拉曾给出一个不是很严格的论证：

 

                   (-1)*(-1) 必须等于=+1

怎么证明呢？

假设它不等于+1，那么它一定等于-1，

这样：

                   (-1)*(-1) =-1

 

把两边的(-1)约掉

                (-1)=1

结果明显有很矛盾，所以

                   (-1)*(-1) =+1

 

这个证明毛病很多，比如你不能用-1就代表了所有的负数；第二，等式两边同除负数，等号还相等吗？这个也应该要得到证明。

 

我们尝试用另一个证明：

设a,b 为正数，则-a,-b为负数：

 

(-a) * (-b) =(-a)*(0-b)=-a*0-(-a)*b=0-(-ab)=-(-ab)=ab

 

好像是可以，但仔细分析发现，这里用到了一些假设 -a = (0-a), -(-a)=a,这些假设未能得到证明，所以这种方式还是不完善。

 

第三种证明：

 

a1<b1,a2<b2,

则a1-b1,a2-b2为负数：

 

(a1-b1)*(a2-b2)

=a1(a2-b2)-b1(a2-b2)

=a1a2+b1b2-(a1b2+b1a2)                       A

 

这时就要比较a1a2+b1b2的a1b2+b1a2 大小

 

a1a2<a1b2,但b1b2>b1a2,

再比较其差值的绝对值：

|a1a2-a1b2|=a1|(a2-b2)|

|b1b2-b1a2|=b1|(a2-b2)|

 

看出来了吧，   A等式的值是大于零，命题得证。