NOIP2005普及组循环

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#NOIP #普及组 #循环 #高精度 #模拟

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本文介绍了一种计算特定整数正整数次幂后k位循环长度的方法。通过实例演示了如何高效找出循环节及其长度。

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A1154. 循环

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试题来源

　　NOIP2005 普及组

问题描述

　　乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。
　　众所周知，2的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复2，4，8，6，2，4，8，6……我们说2的正整数次幂最后一位的循环长度是4（实际上4的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：

数字	循环	循环长度
2	2、4、8、6	4
3	3、9、7、1	4
4	4、6	2
5	5	1
6	6	1
7	7、9、3、1	4
8	8、4、2、6	4
9	9、1	2

　　这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数n的正整数次幂来说，它的后k位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？
　　注意：
　　1．如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。
　　2．如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a + L次幂的最后k位都相同。

输入格式

　　只有一行，包含两个整数n（1 <= n < 10 ¹⁰⁰）和k（1 <= k <= 100），n和k之间用一个空格隔开，表示要求n的正整数次幂的最后k位的循环长度。

输出格式

　　t包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。如果循环不存在，输出-1。

样例输入

    32 2
  

样例输出

4

数据规模和约定

　　对于30%的数据，k <= 4；
　　对于全部的数据，k <= 100。

解析：我直接举一个例子进行说明吧：111 3（由于1的循环长度就是1，所以我直接从末两位循环开始）

我们来看111的末两位循环：

111 -> 321 -> 631 -> 041 -> 551 -> 161 -> 871 -> 681 -> 591 -> 601 -> 711

711处末两位出现循环，循环长度为10，循环节为11-> ...-> 01

现在我们再来看末三位循环：

111->...->601 (10个数)

711->...->201 (201就是601^2的末三位)

311->...->801 (801就是601^3的末三位)

911->...->401 (401就是601^4的末三位)

511->...->001 (001就是601^5的末三位)

111->...->601 (601就是601^6的末三位)

末三位的循环长度就是5*10=50；

好了，现在来讲具体的做法，并假设我们现在求数字n的后k位循环。

朴素的做法就是直接求n^2,n^3,n^4.。。。，并判断是否出现循环。但观察上面的演示例子，我们发现可以不必这样，以n=111为例，末两位循环节长度为10，即表示n与（n^10）*n的末两位是相同的。对于末三位的循环，肯定是（m*n^10），即m*(n^10)与n^10的末三位是相同的，m*（n^10）*n的末三位与n相同。于是，计算末三位循环的时候，我们就直接将n^10作为第一个数，然后每次乘n^10，共乘5次，末三位出现循环，即m=5，所以末三位循环街长度就为5*10=50。

代码：(代码与原作者不同思想一样建议点开链接参考下原作程序)

<pre style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; word-wrap: break-word; word-break: break-all; font-family: "YaHei Consolas Hybrid", Consolas, "Lucida Console", "Bitstream Vera Sans Mono", "Courier New", Courier, monospace, 宋体; color: rgb(51, 51, 51); font-size: 14px; background-color: rgba(255, 255, 255, 0.298039);"><code style="margin: 0px; word-wrap: break-word; word-break: break-all; font-family: "YaHei Consolas Hybrid", Consolas, "Lucida Console", "Bitstream Vera Sans Mono", "Courier New", Courier, monospace, 宋体;"><span class="hljs-preprocessor" style="color: rgb(153, 153, 153); font-weight: bold;">#<span class="hljs-keyword" style="color: rgb(51, 51, 51);">include</span> <cstdio></span>
<span class="hljs-preprocessor" style="color: rgb(153, 153, 153); font-weight: bold;">#<span class="hljs-keyword" style="color: rgb(51, 51, 51);">include</span> <cstring></span>
<span class="hljs-preprocessor" style="color: rgb(153, 153, 153); font-weight: bold;">#<span class="hljs-keyword" style="color: rgb(51, 51, 51);">include</span> <iostream></span>

<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">using</span> <span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">namespace</span> <span class="hljs-built_in" style="color: rgb(0, 134, 179);">std</span>;

<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">const</span> <span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> Maxn=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">110</span>;

<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> i,l,a[Maxn],now[Maxn],ans[Maxn],last[Maxn],temp[Maxn];
<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">char</span> s[Maxn];

<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">bool</span> judge(){
	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">for</span>(<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> k=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;k<=i;k++)<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">if</span>(now[k]!=a[k])<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">return</span> <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>;
	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">return</span> <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;
}

<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">void</span> mul2(<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> c)
{
	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> x=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>;
	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">for</span>(<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> p=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;p<=ans[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>];p++){
		ans[p]=ans[p]*c+x;
		x=ans[p]/<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">10</span>;
		ans[p]%=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">10</span>;
	}
	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">while</span>(x><span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>){ans[++ans[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>]]=x%<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">10</span>;x/=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">10</span>;}
}

<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">void</span> mul1(<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> a[],<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> b[],<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> c[])
{
	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> i,k,x=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>;
  	c[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>]=min(a[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>]+b[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>]-<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>,l);
  	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">for</span>(k=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;k<=c[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>];k++)
    {
      	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">for</span>(c[k]=x,i=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;i<=a[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>];i++)
        	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">if</span>(k+<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>-i>=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span> && k+<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>-i<=b[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>])c[k]+=a[i]*b[k+<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>-i];
      	x=c[k]/<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">10</span>,c[k]%=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">10</span>;
    }
  	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">if</span>(x)c[++c[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>]]=x;
}

<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> main()
{
	<span class="hljs-built_in" style="color: rgb(0, 134, 179);">scanf</span>(<span class="hljs-string" style="color: rgb(221, 17, 68);">"%s%d"</span>,s+<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>,&l);
	a[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>]=<span class="hljs-built_in" style="color: rgb(0, 134, 179);">strlen</span>(s+<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>);
	ans[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>]=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;
	ans[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>]=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;
	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">for</span>(i=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;i<=l;i++)a[i]=s[a[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>]-i+<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>]-<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">48</span>;
	<span class="hljs-built_in" style="color: rgb(0, 134, 179);">memcpy</span>(last,a,<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">sizeof</span>(a));
	
	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">for</span>(i=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;i<=l;i++){
		<span class="hljs-built_in" style="color: rgb(0, 134, 179);">memcpy</span>(last,a,<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">sizeof</span>(a));
		<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> cur=-<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;
		
		<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">for</span>(<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> j=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;j<=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">10</span>;j++){
			mul1(last,a,now);
			<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">if</span>(judge()){
				cur=j;
				<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">break</span>;
			}
			<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">else</span>{
				<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">for</span>(<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> p=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;p<=now[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>];p++)last[p]=now[p];
			}
		}
		<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">if</span>(cur!=-<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>){
			mul2(cur);
			<span class="hljs-built_in" style="color: rgb(0, 134, 179);">memcpy</span>(a,last,<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">sizeof</span>(last));
		}
		<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">else</span>{<span class="hljs-built_in" style="color: rgb(0, 134, 179);">printf</span>(<span class="hljs-string" style="color: rgb(221, 17, 68);">"-1"</span>);<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">return</span> <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>;}
	}
	<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">for</span>(<span class="hljs-keyword" style="font-weight: bold;">int</span> i=ans[<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">0</span>];i>=<span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 128, 128);">1</span>;i--)<span class="hljs-built_in" style="color: rgb(0, 134, 179);">printf</span>(<span class="hljs-string" style="color: rgb(221, 17, 68);">"%d"</span>,ans[i]);
}</code>

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