【洛谷P6046】纯粹容器

最新推荐文章于 2022-09-15 21:43:14 发布

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解决一道算法题，关于容器在特定规则下的存活轮数期望值计算。通过确定左右两侧最大值及组合数学方法，实现O(n²logp)的时间复杂度。

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P6046
白王制造了 $n$ 个容器，并将它们排成了一队，从左到右依次编号为 $\sim n$ 。第 $i$ 个容器的强度为 $a_i$ ，保证 $a_i$ 互不相同。为了挑选出最纯粹的容器，白王会进行 $n - 1$ 轮操作，每轮操作中，他会等概率随机挑选两个 位置相邻 且 未被击倒的容器，令它们进行决斗，在一次决斗中，强度较小的容器将会被击倒并移出队列。
显然最后留下的是强度最大的容器，但是，可怜的容器们很想知道自己能够活多久，于是，它们请你对每个容器求出它存活轮数的期望。答案对 $998244353$ 取模。
一个容器的存活轮数为最大的非负整数 $x < n$ 满足它在第 $x$ 轮未被击倒。
两个容器 $i$ 和 $j$ 位置相邻当且仅当不存在 $k$ 满足 $i < k < j$ 且 $k$ 号容器未被击倒。
$n≤50n\leq 50$ 。

思路

设位置 $i$ 左边第一个比它大的元素是 $i - L$ ，右边第一个比它大的元素是 $i + R$ 。那么只有把 $i−L∼ii-L\sim i$ 全部删掉，或者 $i∼i+Ri\sim i+R$ 全部删掉， $i$ 才会被删掉。
那么元素 $i$ 活过至少 $j$ 轮的期望就可以看做 $n - 1$ 个点，随机选择 $j$ 个点，没有全部选择到给定的 $L$ 个点，且没有全部选择到给定的 $R$ 的点的期望。
所以
$Ei=∑j=1n−11−(n−L−1j−L)(n−1j)−(n−R−1j−R)(n−1j)+(n−L−R−1j−L−R)(n−1j)E_i=\sum_{j=1}^{n-1}1-\frac{\binom{n-L-1}{j-L}}{\binom{n-1}{j}}-\frac{\binom{n-R-1}{j-R}}{\binom{n-1}{j}}+\frac{\binom{n-L-R-1}{j-L-R}}{\binom{n-1}{j}}$
时间复杂度 $O(n^2\log p)$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=55,MOD=998244353;
int n,a[N],L,R;
ll ans,C[N][N];

ll fpow(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
		if (k&1) ans=ans*x%MOD;
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	C[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for (int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		L=0; R=n+1; ans=0;
		for (int j=1;j<i;j++)
			if (a[j]>a[i]) L=i-j;
		for (int j=n;j>i;j--)
			if (a[j]>a[i]) R=j-i;
		if (L==0 && R==n+1) { printf("%d ",n-1); continue; }
		for (int j=1;j<n;j++)
		{
			ans++;
			if (L>=1) ans=(ans-C[n-1-L][j-L]*fpow(C[n-1][j],MOD-2))%MOD;
			if (R<=n) ans=(ans-C[n-1-R][j-R]*fpow(C[n-1][j],MOD-2))%MOD;
			if (L>=1 && R<=n) ans=(ans+C[n-1-L-R][j-L-R]*fpow(C[n-1][j],MOD-2))%MOD;
		}
		printf("%lld ",(ans%MOD+MOD)%MOD);
	}
	return 0;
}