P2613 【模板】有理数取余

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原题链接

P2613
AC记录：Accepted

题目大意

给出一个有理数 $c=\frac{a}{b}$，求 $c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}19260817$。

输入格式

一共两行。
第一行一个整数 $a$。
第二行一个整数 $b$。

输出格式

一个整数，代表求余后的结果。如果无解，输出Angry!。

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{I}\mathbf{n}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

233
666

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{O}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

18595654

$\mathbf{H}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{t}\&\mathbf{E}\mathbf{x}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{i}\mathbf{n}$
无

数据范围

对于$100\%$的数据，$0\le a\le 10^{10001},1\le b\le 10^{10001}$。
$a,b$ 不同时是 $19260817$ 的倍数。

解题思路

首先，你需要知道…

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$1.费马小定理$
当 $p$ 为质数，且正整数 $a$ 与 $p$ 不互质时，$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。
换句话说，就是
$$a^{p-2}\equiv a^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\text{\hspace{1em}(1)}$$

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现在进入正题。
把原式 $c=\frac{a}{b}$ 改一下，就可以得到
$$c=a\cdot b^{-1}$$
因为 $19260817$ 是一个质数，则可以把 $(1)$ 代入得
$$c=a\cdot b^{p-2}$$
直接套一个快速幂就可以过了。

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但是，不要着急，题目说了还会有无解的情况。
问题是，在什么情况下 $\frac{a}{b}$会无解呢？
很容易可以想到，当 $b=0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 时无解。
判断一下 $b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 是否为 $0$ 即可。

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最后，还有最重要的一步，就是读入。
数据范围给的上限是 $10^{10001}$ ，所以要在读入的时候，边读入边模，达到读入后 $a,b$ 都在 $p$ 以内的效果。

上代码

#include<bits/stdc++.h>

#define endl '\n'

using namespace std;

#define int long long

int power(int a,int b,int p)
{
    int tar=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            tar=(tar*a)%p;
        a=(1ll*a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return tar;
}

int read(int p)
{
    int tar=0;
    string s;
    cin>>s;
    for(int i=0; i<s.size(); i++)
        tar=(tar*10+s[i]-'0')%p;
    return tar;
}

const int   p=19260817;
int         a,b;

signed main()
{
    // freopen("test.in","r",stdin);
    // freopen("test.out","w",stdout);
    /* Code */
    a=read(p);
    b=read(p);
    if(b==0)
        cout<<"Angry!"<<endl;
    else
        cout<<(a*power(b,p-2,p))%p<<endl;
    // fclose(stdin);
    // fclose(stdout);
    return 0;
}

完美切题$\sim$