P1037 [NOIP2002 普及组] 产生数

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原题链接

P1037
题目类型：$普及+/提高$
AC记录：Accepted

题目大意

给定一个数字$n$和$k$个规则，规则的内容是可以让一个一位数变成另一个一位数，求在这些规则下，可能产生多少个数（包括自己）。

输入格式

第一行两个整数$n,k$。
接下来$k$行，每行两个整数$x_i,y_i$，代表可以从$x_i$转换成$y_i$。

输出格式

输出能生成的数字个数。
$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{I}\mathbf{n}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

234 2
2 5
3 6

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{O}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

4

$\mathbf{H}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{t}\&\mathbf{E}\mathbf{x}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{i}\mathbf{n}$
在样例中，有以下$2$个规则：$2\to 5,3\to 6$。
则$234$可以变成$234,534,264,564$，总共$4$种，答案为$4$。

数据范围

对于$100\%$的数据，$1\le n\le 10^{30},1\le k\le 15$。

解题思路

我第一次看到这道题时，就想着可以把可能变化到的数字个数乘起来，得到答案。
实际上，这种思路并没有错，但是难点在于：如何找出一个数字可能变化到的数字？
这里就要涉及到一个判断图中的两点是否连通的思路，这里用的是类似$Floyed$的算法。
你可以想，如果你像$Floyed$一样，枚举一个中间点，判断他可不可通的话，这里就要用一个式子：设$f_{\alpha ,\beta }$为$0$则$\alpha ,\beta$两点没有连边，为$1$则$\alpha ,\beta$两点有连边，$k$为中间点。则f[i][j] = f[i][j] || ( f[i][k] && f[k][j] )。f[i][k] && f[k][j]是判断$i\to k$和$k\to j$是否都相通，而前面用一个||都很清楚，只要可行，就可以设为true。
这样一来，数字是否相通的问题就解决了。
但是，有个问题，数字乘起来爆unsigned long long怎么办？开高精度。
或者根据我们机房的某位大佬$\mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\_\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{e}$所说，本题可以用__int128_t水过。

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最后，祝大家早日

上代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

string  s;
bool    road[20][20];
int     can_be[20];
int     mul[10010];
int     n;

int main()
{
    cin>>s>>n;
    for(int i=0; i<=9; i++)
        road[i][i]=true;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        road[x][y]=true;
    }
    for(int k=0; k<=9; k++)
        for(int i=0; i<=9; i++)
            for(int j=0; j<=9; j++)
                road[i][j]=road[i][j]||(road[i][k]&&road[k][j]);
    for(int i=0; i<=9; i++)
        for(int j=0; j<=9; j++)
            if(road[i][j])
                can_be[i]++;
    mul[10000]=1;
    int up=0;
    for(int i=0; i<s.size(); i++)
    {
        int num=can_be[s[i]-'0'];
        for(int j=10000; j>=1; j--)
        {
            mul[j]=mul[j]*num+up;
            up=mul[j]/10;
            mul[j]%=10;
        }
    }
    int pos=1;
    while(pos<10000&&mul[pos]==0)
        pos++;
    for(; pos<=10000; pos++)
        cout<<mul[pos];
    cout<<endl;
    return 0;
}

完美切题$\sim$