[算法] 二叉树的 先序遍历、中序遍历、后序遍历

本文根据清华大学邓俊辉老师课程《数据结构》总结，课程地址 。

遍历介绍

按照事先约定的某种规则或次序，对节点各访问一次而且仅一次。与向量和列表等线性结构一样，二叉树的这类访问也统称为遍历（traversal）。

二叉树本身并不具有天然的全局次序， 故为实现遍历，需通过在各节点与其孩子之间约定某种局部次序， 间接地定义某种全局次序。

按惯例左兄弟优先于右兄弟， 若记做节点 V ，及其左、右孩子 L 和 R ，则下图所示，局
部访问的次序可有 V L R 、 L V R 和 L R V 三种选择。根据节点 V 在其中的访问次序，三种策略也相应地分别称作 先序遍历、中序遍历 和 后序遍历 。

可以根据节点 V 次序位置进行记忆，先序遍历中 V 位于前端，中序遍历中 V 位于中间，后序遍历中 V 位于后端。

下面说一下各个遍历的迭代式实现。

先序遍历

通过先序遍历操作后，返回结果的顺序如下图所示。 注意下图是最终返回的结果展示顺序，实现方法及流程并非如此。

C++ 实现代码如下：

//从当前节点出发，沿左分支不断深入，直至没有左分支的节点,沿途节点遇到后立即访问
template <typename T, typename VST> //元素类型、操作器
static void visitAlongLeftBranch(BinNodePosi(T) x, VST& visit, Stack<BinNodePosi(T)>& S) {
	while (x) {
		visit(x->data); //访问当前节点
		S.push(x->rChild); //右孩子入栈暂存（可优化：通过判断，避免空的右孩子入栈）
		x = x->lChild; //沿左分支深入一层
	}
}

template <typename T, typename VST> //元素类型、操作器
void travPre_I2(BinNodePosi(T) x, VST& visit) { //二叉树先序遍历算法（迭代版）
	Stack<BinNodePosi(T)> S; //辅助栈
	while (true) {
		visitAlongLeftBranch(x, visit, S); //从当前节点出发，逐批访问
		if (S.empty()) break; //直到栈空
		x = S.pop(); //弹出下一批的节点
	}
}

根据上面的代码，举个例子。

上图所示的二叉树遍历，流程描述如下：

1. 从节点 a 出发，沿左分支不断深入，直至没有左分支的节点，沿途节点遇到后立即访问。首先 a 的右节点 c 直接进栈，然后访问左节点 b；
2. b 的右节点直接进栈，此时其为空节点，所以空节点进栈，访问 b 的左节点，也为空，直接进行下一步；
3. 弹出栈顶空节点，再弹出 c，将 c 的右节点 f 直接进栈，并访问左节点 d；
4. 将 d 的右节点 e 直接进栈，并访问左节点 ；
5. d 的左节点为空。接下来弹出栈顶的 e ，并将 e 的右节点（空节点）直接进栈，访问 e 的左节点；
6. e 的左节点为空。接下来弹出栈顶的 f ，并将 f 的右节点（空节点）直接进栈，访问 f 的左节点 g ；
7. 将 g 的右节点（空节点）直接进栈， 访问 g 的左节点；
8. g 的左节点为空。弹出g 的右节点（空节点），再弹出 f 的右节点（空节点）；
9. 栈为空，遍历结束。（其实上述描述的每一次循环都会做一次栈是否为空的检查）

中序遍历

通过中序遍历操作后，返回结果的顺序如下图所示。
同样需注意下图是最终返回的结果展示顺序，实现方法及流程并非如此。

C++ 实现代码如下：

template <typename T> //从当前节点出发，沿左分支不断深入，直至没有左分支的节点
static void goAlongLeftBranch(BinNodePosi(T) x, Stack<BinNodePosi(T)>& S) {
	while (x) { S.push(x); x = x->lChild; } //当前节点入栈后随即向左侧分支深入，迭代直到无左孩子
}

template <typename T, typename VST> //元素类型、操作器
void travIn_I1(BinNodePosi(T) x, VST& visit) { //二叉树中序遍历算法（迭代版）
	Stack<BinNodePosi(T)> S; //辅助栈
	while (true) {
		goAlongLeftBranch(x, S); //从当前节点出发，逐批入栈
		if (S.empty()) break; //直至所有节点处理完毕
		x = S.pop(); visit(x->data); //弹出栈顶节点并访问之
		x = x->rChild; //转向右子树
	}
}

根据上面的代码，举个例子。

上图所示的二叉树遍历，流程描述如下：

1. 从节点 b 出发， b 进栈 S。沿左分支不断深入，遇到节点则入栈；
2. 直至所有左分支节点处理完毕。（此时 S 中从上往下为 a、b）；
3. 弹出栈 S 顶节点 a 并访问之；
4. 转向 a 右子树。到此处截止，为一个循环体操作。接下来对 a 右子树，对其重复循环体类似操作；
5. 但这里a 右子树为空，所以继续弹出 b 。转向 b 右子树，对其进行重复循环体类似操作；
6. 所以 f、d、c 依次入栈，c 在栈顶。弹出 c ，转向 c 右子树，重复循环体；
7. c 右子树为空。弹出 d ，转向 d 右子树，重复循环体。
8. e 入栈，弹出 e ，转向 c 右子树，重复循环体，c 右子树为空；
9. 弹出 f，转向 f 右子树，重复循环体。
10. g 入栈， g 出栈，转向 g 右子树，为空；
11. 此时，没有新的节点入栈，栈中也没有其他节点，终止遍历操作。

后序遍历

通过后序遍历操作后，返回结果的顺序如下图所示。

C++ 实现代码如下：

template <typename T> //在以S栈顶节点为根的子树中，找到最高左侧可见叶节点
static void gotoHLVFL(Stack<BinNodePosi(T)>& S) { //沿途所遇节点依次入栈
	while (BinNodePosi(T) x = S.top()) //自顶而下，反复检查当前节点（即栈顶）
		if (HasLChild(*x)) { //尽可能向左
			if (HasRChild(*x)) S.push(x->rChild); //若有右孩子，优先入栈
			S.push(x->lChild); //然后才转至左孩子
		} else //实不得已
			S.push(x->rChild); //才向右
	S.pop(); //返回之前，弹出栈顶的空节点
}

template <typename T, typename VST>
void travPost_I(BinNodePosi(T) x, VST& visit) { //二叉树的后序遍历（迭代版）
	Stack<BinNodePosi(T)> S; //辅助栈
	if (x) S.push(x); //根节点入栈
	while (!S.empty()) {
		if (S.top() != x->parent) //若栈顶非当前节点之父（则必为其右兄），此时需
			gotoHLVFL(S); //在以其右兄为根之子树中，找到HLVFL（相当于递归深入其中）
		x = S.pop(); visit(x->data); //弹出栈顶（即前一节点之后继），并访问之
	}
}

根据上面的代码，举个例子。

1. 找到最高左侧可见叶节点 k，若有右子树优先入栈（此处为 j），但优先往左子树方向走（i 入栈）；
2. i 的右子树 h 入栈，i 无左子树，所以继续对右子树 h 进行操作；
3. h 的右子树 g 入栈，方向到左子树（b 入栈）；
4. b 的右子树 a 入栈，b 无左子树。继续对 a 进行操作，a 无子节点；
5. 到此为止，第一次入栈操作结束，此时栈中顶而下依次为 abghijk；
6. 接下来弹出栈顶元素 a ，访问之；
7. b 是 a 的父节点，不用进行 入栈操作。弹出栈顶元素 b ，访问之；
8. 接下来是 g ，非 b 的父节点，执行入栈操作，按照1~5步骤说的方法，依次将 fedc 入栈；

9. 接下来判断是否需要执行入栈，并不断从栈中弹出节点，并访问之；
10. 最后，栈为空，遍历结束。