13、二维格基约化算法的概率分析

二维格基约化算法的概率分析

1. 密度类型与标准密度

存在一种类型为 $(r, g)$ 的密度。我们经常会处理赋值为 $r$ 的标准密度，记为 $f_r$，其表达式为：
[f_r(z) = \frac{1}{A(r)}|\Im(z)|^r]
其中
[A(r) = \iint_{B \setminus F} y^r dxdy]

当 $r = 0$ 时，在 $B \setminus F$ 上是均匀分布，且 $A(0) = \frac{1}{12}(2\pi + 3\sqrt{3})$。当 $r \to -1$ 时，$A(r) \approx \frac{1}{r + 1}$。

与密度 $f$ 相关的（连续）模型用 $\langle f \rangle$ 形式的下标表示，当赋值为标准密度 $f_r$ 时，模型用 $(r)$ 形式的下标表示。离散模型用两个下标表示，即整数大小 $M$ 和描述函数 $f$ 的下标。

2. 二维 Ajtai 模型

该模型对应于基 $(u, v)$，其行列式 $\det(u, v)$ 满足：
[\frac{|\det(u, v)|}{\max(|u|, |v|)^2} = y_0]
其中 $y_0 \in [0, 1]$。

在复框架下，这导致在 $B \setminus F$ 上的密度 $f(z)$ 形式为 $f(z) = \text{Dirac}(y_0)$，其中 $y_0 \in [0, 1]$。当 $y_0$ 趋于 0 时，该模型趋于“一维模型”（此时 $u$ 和 $v$ 共线），高斯算法也“趋于”欧几里得算法。

3.