20、复杂网络的统计力学与信息理论：结构、相变与相关性分析

复杂网络的统计力学与信息理论：结构、相变与相关性分析

1. 网络结构的平衡统计力学

在研究网络结构时，基于能量的图模型为定义微正则、正则和巨正则系综提供了自然的方式。这些系综通常由遵循细致平衡和遍历性的平衡重组过程生成。为了描述更广泛的网络模型，也可以考虑无能量的系综。

1.1 不同系综中的相转变

• 双参数无标度树图系综 ：在双参数无标度树图系综中，识别出了两种相：通用相（generic）和皱缩相（crumpled）。分隔线右侧的点代表无标度图，属于通用相。其相转变由公式 $\Phi^* s(T) = 2 T - 1 - T^{-1} c(\langle k \rangle) / (\langle k \rangle^2 - 3\langle k \rangle + 2)$ 表示，表明相转变是连续的。
• 简并图系综 ：对于 Dorogovtsev 等人引入的简并图系综，当 $w(k) \propto k + 1 - \gamma$ 时，发现了一条临界线 $\langle k \rangle = k_c(\gamma)$。在这条线以下，度分布有指数截断；在这条线以上，会出现凝聚现象，即有限比例的边连接到无限小比例的节点上。
• 固定幂律度序列的连通树图系综 ：Burda 等人报告了该系综中作为两个参数（度分布的指数 $\gamma$ 和与子图概率相关的 $\alpha$）函数的相转变。计算了识别出的通用相和皱缩相之间分隔线的解析形式，并使用蒙特卡罗采样技术进行了数值模拟。

1.