17、复杂网络中的聚类分析

复杂网络中的聚类分析

1. 速率方程方法

在复杂网络的研究中，速率方程方法是描述增长模型的有效工具。当考虑这类模型时，我们可以用一般形式写出聚类的速率方程。

1.1 增长模型的速率方程

对于增长模型，需要考察在多次实现中平均的变化率，其速率方程为：
[
\frac{\partial n_i}{\partial t} = \frac{R(k_i, \Pi)}{\sum_{n\in\Omega}R(k_n, \Pi)}
]
其中，$n_i$ 是节点 $i$ 的平均连接邻居数，局部聚类系数 $C_i = \frac{n_i}{[k_i(k_i - 1)/2]}$。$R$ 是节点 $i$ 获取新链接（或者在链接重新连接或删除过程中失去链接）的速率，该速率取决于节点的度和参数集 $\Pi$。参数集 $\Pi$ 可以是“退火”的或“淬火”的，取决于其描述的是随机规则还是节点的固定属性。$\Omega$ 是节点 $i$ 的邻居集合，求和表示新节点连接到 $i$ 并同时连接到其某个邻居的概率，这会增加 $n_i$ 并增强聚类。

为了使上述方程更具体，以三元组形成模型为例。该模型是在 BA 模型基础上扩展了三元组形成步骤。初始时，网络包含 $m_0$ 个顶点且无边，每个时间步添加一个带有 $m$ 条无向边的新顶点。$m$ 条边依次连接到网络中的 $m$ 个不同节点。第一条边按照 BA 模型的优先连接步骤连接，第二条及后续边以概率 $p$ 连接到前一个优先连接步骤所选节点的随机邻居，以概率 $1 - p$ 再次执行优先连接步骤。

当 $p$ 趋近于 0 时，恢复到原始的 BA 模型；当 $p$ 在 0 到 1 之间取