12、偏微分方程求解：网格计算

偏微分方程求解：网格计算

1. 偏微分方程与拉普拉斯方程

偏微分方程（PDEs）可用于对多种物理系统进行建模，如天气、机翼上的气流、流体中的湍流等。部分简单的偏微分方程可直接求解，但通常需要使用迭代数值方法在有限个点上近似求解。

拉普拉斯方程是一种椭圆型偏微分方程，二维形式如下：
函数表示一些未知的势，如热或应力。给定一个固定的空间区域以及该区域边界点的解值，我们的任务是近似求解区域内点的稳态解。我们可以通过用均匀分布的网格覆盖该区域来实现，如图 1 所示。每个内部点初始化为某个值，然后通过反复迭代计算内部点的稳态值。每次迭代时，一个点的新值设置为其相邻点的旧值和/或新值的组合。当每个新值与每个旧值的差值在可接受范围内时，计算终止。

求解拉普拉斯方程有几种静态迭代方法，包括雅可比迭代、高斯 - 赛德尔迭代和逐次超松弛（SOR）迭代。在雅可比迭代中，每个点的新值设置为其四个相邻点旧值的平均值。雅可比迭代易于并行化，因为每个新值相互独立。尽管雅可比迭代的收敛速度比其他方法慢，但由于其编程更简单，下面将使用该方法。

2. 数据并行算法

数据并行算法是一种迭代算法，它重复并行操作共享数组。这种算法与同步（SIMD）多处理器密切相关，但也可用于异步多处理器。下面是雅可比迭代的数据并行实现。

2.1 实现步骤

雅可比迭代的数据并行实现的主循环重复执行三个阶段：
1. 更新阶段 ：计算每个内部点的新值。
2. 交换阶段 ：将新值替换旧值。
3. 收敛检查阶段