傅立叶级数：周期信号的神奇分解。

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傅立叶级数与周期信号分析

傅立叶级数用于将周期信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。对于周期为 ( T ) 的信号 ( x(t) )，其傅立叶级数展开为：

[ x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n t}{T} + b_n \sin \frac{2\pi n t}{T} \right) ]

其中，系数 ( a_0 )、( a_n ) 和 ( b_n ) 的计算公式为：

[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt ]

[ a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos \frac{2\pi n t}{T} dt ]

[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin \frac{2\pi n t}{T} dt ]

以下是一个Python示例，计算方波的傅立叶级数并绘制前5项谐波叠加的效果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def fourier_series_square_wave(t, T, n_terms):
    result = np.zeros_like(t)
    for n in range(1, n_terms + 1):
        harmonic = (4 / (np.pi * (2*n - 1))) * np.sin(2 * np.pi * (2*n - 1) * t / T)
        result += harmonic
    return result

T = 2 * np.pi
t = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 1000)
plt.plot(t, fourier_series_square_wave(t, T, 5), label='5 terms')
plt.title('Square Wave Fourier Series Approximation')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()