20、混合局部搜索技术与拉格朗日分解在不同问题中的应用

混合局部搜索技术与拉格朗日分解在不同问题中的应用

混合局部搜索技术解决GBACP问题

在解决GBACP（Generalized Balanced Academic Curriculum Problem）问题时，混合局部搜索技术展现出了一定的潜力。

复杂策略与简单策略的结果对比是一个值得关注的点。总体而言，复杂策略的结果并不比简单策略差。而且，复杂策略似乎更适合与强化机制相结合，例如DTS（Dynamic Tabu Search）搭配两种策略，或者SA（Simulated Annealing）与令牌环结合后再使用LNS（Large Neighborhood Search）。其中，SA▷DTS▷(Kb)+这种组合表现最佳，它以一种相当复杂的方式结合了强化和多样化步骤。

初步研究表明，虽然局部搜索技术通常能有效解决此类问题，但为了获得更好的结果，有必要设计复杂的技术组合。未来，计划更系统地探索可能的GLSM（Generalized Local Search Metaheuristics）组合，以更清晰地了解混合技术的重要性。

GBACP问题的当前表述在解决实际问题方面似乎是合适的，但仍存在一些限制。具体有两个主要问题需要解决：
1. 虽然不建议，但课程有可能在不同课程体系的不同年份被选修。这就需要一个更复杂的模型，在该模型中，课程仅分配到学期，并且为每对实际的课程/课程体系分配不同的年份。
2. 不同的课程体系在某些情况下代表同一学位的自由选择，但一些额外的低级选择在当前表述中未被建模。实际上，一些课程体系包含的课程比学生毕业所需的课程更多，学生可以从更大的列表中放弃一些课程。

解决第二个问题可以通过在模型中拆分当前课程体系来包含所有选择，但这种解决方案会导致课程体系数量急剧增加。例如，如果学生可以从一个课程体系的12门课程中放弃4门，那么从一个课程体系就会产生495个不同的课程体系。因此，需要设计一些技术来管理大量相似的课程体系。

拉格朗日分解、元启发式和混合方法解决光纤网络最后一公里设计问题

在光纤网络扩展中，“光纤到户”对个别家庭来说已具有经济可行性，但覆盖更大区域需要巨大的资金投入，因此寻找具有成本效益的网络布局算法至关重要。

问题定义

考虑一个实际的通信网络设计问题，该问题出现在现有光纤网络的扩展中。给定一个连通的无向图G = (V, E)，它代表潜在客户周围区域的空间拓扑。边E对应可能的电缆路线，具有相关的长度le ≥0和安装光纤链路的建设成本ce ≥0。节点集V是客户节点C和空间节点S（交换机、可能的斯坦纳节点）的不相交并集。客户节点C分为C1和C2子集，C1中的客户需要单连接（类型1），C2中的客户需要冗余连接（类型2）。每个客户节点k ∈C还有相关的奖励pk ≥0，即预期投资回报。现有网络基础设施由G的子图I = (VI, EI)表示。

在预处理步骤中，将整个现有网络基础设施（即根节点和所有连接的基础设施节点）收缩为一个单一节点0 ∈V。从所有连接节点i ∈V到现有基础设施的边中，只保留最便宜的边，并最终用具有相同长度和成本的边(0, i)替换。

对于解决方案网络G′ = (V ′, E′)（V ′ ⊆V且E′ ⊆E），客户节点的连接条件如下：
- 简单连接：C1中的客户节点k可行连接的条件是存在从节点0到k的路径。
- 冗余连接：C2中的客户节点k可行连接的条件是存在两条节点（和边）不相交的从节点0到k的路径。
- bmax - 冗余连接：偶尔，C2中节点的双连通性条件会放宽，即这样的节点k ∈C2可以通过最大总长度为bmax(k) > 0的单路径连接到任何双连通（斯坦纳或客户）节点j ∈V。这条（可选）单路径称为分支线，bmax(k)是客户k的最大分支线长度。

目标分为两种情况：
- 运营规划任务（OPT）：专注于找到一个最小成本的子图G′，以可行地连接所有客户C，总成本为cOPT(G′) = ∑e∈E′ce。这可以看作是经典图上斯坦纳树问题（STP）的推广，其中C2中的节点需要特殊形式的冗余。
- 战略模拟任务（SST）：考虑客户的奖励，目标是仅连接客户的一个子集C′ ⊆C，以使构建网络的成本减去获得的奖励最小化。为了始终有正的总成本，在目标函数中添加常数∑k∈C pk，得到cSST(G′) = ∑e∈E′ce - ∑k∈C′pk + ∑k∈C pk = ∑e∈E′ce + ∑k∈C\C′pk。这是价格收集斯坦纳树问题（PCSTP）的推广。

由于经典图上的斯坦纳树问题是NP - 难问题，因此这两个问题变体显然也是NP - 难问题。

解决方法

将该问题表述为一个抽象的整数线性规划问题，并应用拉格朗日分解来获得相对紧密的下界以及可行解。具体步骤如下：
1. 抽象ILP模型 ：
- 利用决策变量xe ∈{0, 1}（∀e ∈E）表示边e是否是解决方案的一部分，即xe = 1 ↔e ∈E′。对于客户节点k ∈C，变量yk ∈{0, 1}表示是否存在根据客户类型和bmax(k)的可行连接。
- 模型基于多商品网络流（MCF）公式，但将每个客户k ∈C在有向弧上的所有不同类型的流变量替换为简单变量f k
e ∈{0, 1}（∀e ∈E），表示边e是否是连接客户k的单路径（类型1）或不相交路径对加上最终分支线（类型2）的一部分；f k表示客户k的所有这些变量的向量。
- SST变体问题的抽象表述如下：
- 目标函数：minimize ∑e∈Ecexe + ∑k∈Cpk(1 - yk)
- 约束条件：
- f k
e ≤xe（∀k ∈C, ∀e ∈E）
- f k ∈Fk if yk = 1（∀k ∈C）
- f k
e ∈{0, 1}（∀k ∈C, ∀e ∈E）
- xe ∈{0, 1}（∀e ∈E）
- OPT变体模型通过简单忽略目标函数中的第二项和(5)中关于yk的条件得到。
2. 拉格朗日分解 ：
- 以经典的拉格朗日方式放松抽象模型的耦合约束(4)，即在目标函数中用相应的惩罚项替换它们，得到模型LR(λ)：
- 目标函数：minimize ∑e∈Ecexe + ∑k∈Cpk(1 - yk) + ∑k∈C∑e∈Eλk,e · (f k
e - xe)
- 约束条件：
- f k ∈Fk if yk = 1（∀k ∈C）
- f k
e ∈{0, 1}（∀k ∈C, ∀e ∈E）
- xe ∈{0, 1}（∀e ∈E）
- 参数λk,e ≥0（∀k ∈C, ∀e ∈E）是拉格朗日乘数，对于任何可行的实例化，LR(λ)的最优解为原始抽象模型的最优解值提供一个下界。
- 对于特定的λ选择，该松弛可以有效地求解，因为它分解为|C|个独立的问题，用于在边成本为λk,e的图上确定每个k ∈C的最便宜连接。
- 拉格朗日对偶问题是找到最优的拉格朗日乘子向量λ∗，使得LR(λ∗)获得的下界尽可能大。由于这个最大化问题是凸的且分段线性的，子梯度算法适合解决这个问题。这里应用了Volume算法，它在各种情况下已被证明比几种替代方法更有效，初步比较也表明它优于标准子梯度策略。
3. 确定单个最优连接 ：
在Volume算法的每次迭代中，需要为每个客户k ∈C确定在边成本为λk,e ≥0的图上的最便宜可行连接。这可以通过从节点0到节点k的简单最短路径计算来实现。

通过与之前发表的精确方法相比，所提出的方法适用于更大的问题实例，同时能提供高质量的解决方案和良好的下界。此外，还描述了可变邻域搜索和GRASP（Greedy Randomized Adaptive Search Procedure）方法，利用新的构造启发式和特殊邻域，并且研究了这些方法的混合形式，结果表明它们通常表现更优。

以下是一个简单的mermaid流程图，展示拉格朗日分解解决问题的主要步骤：

graph TD;
    A[定义抽象ILP模型] --> B[拉格朗日分解];
    B --> C[确定拉格朗日乘子λ];
    C --> D[分解为独立问题];
    D --> E[确定单个最优连接];
    E --> F[获得下界和可行解];

综上所述，无论是GBACP问题还是光纤网络最后一公里设计问题，通过结合不同的技术和方法，有望在解决实际问题中取得更好的效果。在未来的研究中，可以进一步优化这些方法，以应对更复杂的情况。

混合局部搜索技术与拉格朗日分解在不同问题中的应用

可变邻域搜索和GRASP方法在网络设计问题中的应用

在解决光纤网络最后一公里设计问题时，除了拉格朗日分解方法，可变邻域搜索（Variable Neighborhood Search，VNS）和GRASP（Greedy Randomized Adaptive Search Procedure）方法也发挥了重要作用。

可变邻域搜索（VNS）

VNS是一种元启发式算法，它通过系统地改变邻域结构来探索解空间。在这个网络设计问题中，VNS利用了新的构造启发式和特殊邻域。其基本步骤如下：
1. 初始解生成 ：使用新的构造启发式生成一个初始可行解。这个初始解可以作为后续搜索的起点。
2. 邻域结构定义 ：定义一系列不同的邻域结构，例如改变某些边的选择、调整客户节点的连接方式等。
3. 搜索过程 ：从当前解开始，在一个邻域内进行搜索。如果找到一个更优的解，则将其作为新的当前解，并重新开始搜索；如果在当前邻域内没有找到更优解，则切换到下一个邻域继续搜索。
4. 终止条件 ：当满足一定的终止条件（如达到最大迭代次数、没有更优解的改进等）时，搜索停止。

以下是一个简单的表格，展示VNS的主要参数和含义：
| 参数 | 含义 |
| ---- | ---- |
| 初始解生成方法 | 用于生成初始可行解的启发式方法 |
| 邻域结构集合 | 定义的一系列不同的邻域结构 |
| 最大迭代次数 | 搜索过程的最大迭代次数 |
| 邻域切换规则 | 当在当前邻域内没有找到更优解时，切换到下一个邻域的规则 |

GRASP方法

GRASP是一种迭代的贪心随机自适应搜索过程。它结合了贪心算法的快速性和随机化的灵活性，在每次迭代中生成一个可行解，并尝试改进它。其主要步骤如下：
1. 构造阶段 ：使用贪心随机策略构造一个初始可行解。在这个阶段，根据一定的概率选择边和客户节点的连接，以增加解的多样性。
2. 局部搜索阶段 ：对构造阶段得到的解进行局部搜索，尝试找到一个更优的解。可以使用与VNS相同的邻域结构进行局部搜索。
3. 迭代过程 ：重复构造阶段和局部搜索阶段，直到满足终止条件。

以下是一个mermaid流程图，展示GRASP方法的主要步骤：

graph TD;
    A[构造阶段：贪心随机构造初始解] --> B[局部搜索阶段：改进解];
    B --> C{是否满足终止条件};
    C -- 否 --> A;
    C -- 是 --> D[输出最优解];

混合方法的优势

在实际应用中，研究还对VNS、GRASP方法以及它们的混合形式进行了研究。结果表明，这些混合方法通常表现更优。例如，将VNS和GRASP方法结合，可以充分发挥两者的优势。VNS通过系统地改变邻域结构来探索解空间，而GRASP方法通过贪心随机策略增加解的多样性。混合方法可以在不同的阶段使用不同的策略，从而在更大的解空间中寻找更优的解。

以下是一个简单的对比表格，展示不同方法在解决网络设计问题中的性能：
| 方法 | 适用问题规模 | 解的质量 | 计算时间 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 拉格朗日分解 | 较大 | 高 | 适中 |
| 可变邻域搜索（VNS） | 较大 | 较高 | 适中 |
| GRASP方法 | 较大 | 较高 | 适中 |
| 混合方法 | 较大 | 最高 | 适中 |

总结与展望

本文介绍了混合局部搜索技术在GBACP问题中的应用，以及拉格朗日分解、可变邻域搜索、GRASP方法及其混合形式在光纤网络最后一公里设计问题中的应用。通过这些方法的结合和改进，能够为解决实际问题提供高质量的解决方案和良好的下界。

在未来的研究中，可以进一步探索以下几个方面：
1. 方法的优化 ：对现有的方法进行进一步的优化，例如改进邻域结构、调整算法参数等，以提高解的质量和计算效率。
2. 问题的扩展 ：考虑更复杂的问题场景，例如增加更多的约束条件、考虑动态变化的网络环境等，以应对实际应用中的挑战。
3. 混合方法的深入研究 ：深入研究不同方法的混合形式，探索如何更好地结合它们的优势，以获得更优的解决方案。

总之，通过不断地研究和改进这些方法，有望在解决实际问题中取得更好的效果，为相关领域的发展做出贡献。