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无线网络中的算法研究：共识稳定、发布订阅与覆盖问题
1. 移动网络中稳定一致共识的紧界
1.1 引理 18
对于任意的 (i)、(j)、(k)，如果 (C INPUT_j[i]) 稳定到 (v_j)，并且 (C INPUT_k[i]) 最终稳定到 (v_k)，那么 (v_j = v_k)。
证明过程如下：
- 若 (INPUT_j[i]) 稳定到 (v_j)，那么在时间 (T) 之后，有 (|k : inputs_j[k][i] = v_j| \geq n - t)。
- 因为 (n - t \geq t + 1)，所以必定存在至少一个正确节点 (u)，使得 (inputs_j[u][i] = v_j)。
- 由此可得 (inputsu[u][k] = v_j)。根据引理 13，对于每个正确节点 (p)，(inputsp[p][i]) 最终稳定到 (v_j)。
- 同理对于节点 (k)，对于每个正确节点 (p)，(inputsp[p][i]) 最终稳定到 (v_k)。
- 由于至少有 (n - t) 个正确节点，所以必定存在某个正确节点 (q)，使得 (inputsq[q][i]) 最终稳定到 (v_j) 且最终也稳定到 (v_k)。因此，(v_j = v_k)。
1.2 定理 4
当 (n > 2t) 时，带有发送遗漏故障的稳定一致共识问题是可解的。
证明过程需要证明稳定一致共识的三个条件都满足：
-
稳定条件
：证明过程与引理 16 类似，由于篇幅限制省略。
-
有效性条件
：如果所有节点的输入都稳定到 (v)，根据引理 17，对于任何正确节点 (i) 和任何节点 (k)，在时间 (T) 之后，(C INPUT_k[i]) 最终稳定到 (v)。因为至少有 (n - t) 个正确节点，在时间 (T) 之后的任何时间 (t)，节点 (k) 最终会有 (|i : C INPUT_k[i] = v| \geq n - t)，所以它输出 (v)。
-
一致性条件
：假设为了推出矛盾，两个节点 (i) 和 (j) 的输出稳定到不同的值 (v_i) 和 (v_j)。那么，要么 (v_i \neq 0) 要么 (v_j \neq 0)。不失一般性，假设 (v_i \neq 0)。那么，在时间 (T) 之后的某个时间，有 (|k : C INPUT_i[k] = v_i| \geq n - t)。设 (S = {k : C INPUT_i[k] = v_i})。根据引理 18，对于每个 (k \in S)，(C INPUT_j[k]) 也稳定到 (v_i)。因此，最终节点 (j) 会有 (|k : C INPUT_j[k] = v_i| \geq n - t)，并且最终输出 (v_i)。所以，(v_j = v_i)。
1.3 结论
研究了移动网络中一种名为稳定一致共识的变体问题。结果显示，即使输入是稳定的，如果单个节点出现一般遗漏故障，该问题是无法解决的。同时，确定了在更良性故障（如崩溃和发送遗漏）情况下解决该问题的紧条件。
2. 虚拟环上的发布/订阅系统
2.1 引言
无线传感器网络（WSN）资源受限，基于多跳中继和自组织路由运行，而非像互联网那样依赖强大的基础设施。许多 WSN 应用需要将给定节点生成的数据高效转发到所有对该数据感兴趣的节点。发布/订阅系统为此提供了有效的解决方案。该系统中有发布者和订阅者两个角色，发布者发布消息时无需知道接收者的身份，订阅者注册对某类信息的兴趣并异步接收匹配的消息。
2.2 系统概述
发布/订阅系统基于以下几个基础构建：
-
虚拟环层
：这是一种覆盖网络，所有节点排列在一个环上，消息在这个环上路由。通过使用所谓的捷径来实现可扩展性，这些捷径有助于避开特定通道上没有订阅者的环段。
-
生成树层
：虚拟环层的维护基于生成树层，使用著名的自稳定生成树算法实现。
-
稳定可扩展的邻域关系层
：通过自稳定邻域协议 Mahalle+ 实现，该协议能同时实现敏捷性和稳定性。Mahalle+ 允许为每个节点的邻居数量指定一个上限 (C_N)，(C_N) 的值可以在出版物的平均路由长度和路由表所需的内存空间之间进行权衡。内存消耗随 (C_N) 呈二次增长，而单个通道的路由表呈线性增长，预计 (C_N) 的范围在 5 到 10 之间。
此外，为了实现自稳定，除了经典技术外，还使用了租赁的概念，特别是用于路由条目和订阅。路由条目必须在租赁期到期前更新，以防止被丢弃。
2.3 总体方法
2.3.1 发布/订阅消息的路由
分布式系统被建模为无向图 (G = (V, E))，图中的节点负责将订阅转发到所有节点，并将出版物传递给订阅者。所有节点都参与路由过程，目标是平衡用于路由表的内存量和用于转发订阅和出版物的消息数量。
使用虚拟环作为覆盖网络，每个节点可以在环上出现多次，环的总大小为 (2(n - 1))，平均每个节点在环上出现两次。路由在环上逆时针进行，消息在转发回源节点之前被丢弃。为了实现可扩展性，使用虚拟环上的捷径，每个节点维护一个表 (F)，记录每个位置和每个通道上，最接近下一个订阅者的邻居位置。为了在分布式算法中实现这一点，每个节点必须维护两个位置列表：列表 (P) 包含自己的位置，列表 (R) 包含所有邻居的位置。
2.3.2 示例
以下是一个出版物路由的示例：
graph LR
classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
A([Publisher P at Pos 1]):::startend -->|virtual ring| B([Subscriber S at Pos 25]):::startend
A -->|shortcut| C([Subscriber S at Pos 27]):::startend
D([Publisher P at Pos 7]):::startend -->|virtual ring| B
D -->|shortcut| C
在图中，一个发布者在位置 1 和 7 处，用 (P) 表示；两个订阅者分别在位置 25 和 27 处，用 (S) 表示。实际节点 ID 对发布/订阅层是透明的。出版物从节点的最小位置开始路由，例如从位置 1 开始，出版物被转发到位置 16，由于从 16 没有捷径，消息将被转发到 17，以此类推，直到到达订阅者位置。
3. 移动和静态传感器的扫描覆盖
3.1 引言
扫描覆盖的概念是近期提出的，对于给定的一组兴趣点（PoIs），通过一组移动传感器进行定期巡逻检查即可。一个点被称为 (t -) 扫描覆盖，当且仅当至少有一个移动传感器在每个 (t) 时间段内访问该点，(t) 称为该点的扫描周期。扫描覆盖问题的目标是找到最少数量的移动传感器来保证对 PoIs 集合的扫描覆盖。
之前有人提出了一些近似算法，但存在严重缺陷。例如，假设有两个 PoIs，它们之间的距离为 100 米，(vt) 为 20 米，按照之前的算法需要 20 个移动传感器，但实际上只需要两个传感器分别监控两个 PoIs 即可。
3.2 GSweep 覆盖问题
3.2.1 定义
设 (G = (U, E)) 是一个加权图，(U = {u_1, u_2, \cdots, u_n}) 是图的顶点，(S = {s_1, s_2, \cdots, s_p}) 和 (M = {m_1, m_2, \cdots, m_q}) 分别是静态和移动传感器的集合。移动传感器以均匀速度 (v) 沿着图的边移动。一个顶点 (u_i) 被称为 (t -)GSweep 覆盖，当且仅当至少有一个移动传感器 (m_j) 在每个 (t) 时间段内访问 (u_i)，或者有一个静态传感器 (s_j) 部署在 (u_i) 处，定期监控 (u_i)。
GSweep 覆盖问题的目标是找到最少数量的传感器（静态和移动传感器的组合），使得每个顶点都被 (t -)GSweep 覆盖，该问题是 NP 难的。
3.2.2 算法 1：GSweepCoverage
该算法用于找到 GSweep 覆盖问题的最少传感器数量，具体步骤如下：
1. 执行 (n) 次迭代，在第 (k) 次迭代（(1 \leq k \leq n)）中，计算具有 (k) 个连通分量 (C_1, C_2, \cdots, C_k) 的最小生成森林 (F_k)。
2. 通过将每个分量的所有边加倍，找到 (k) 个不相交的巡回 (T_1, T_2, \cdots, T_k)。
3. 将每个 (T_i) 划分为 (\lceil \frac{|T_i|}{vt} \rceil) 个长度为 (vt) 的部分。
4. 每次迭代所需的传感器数量等于分区的总数。
5. 选择所有迭代中传感器数量的最小值作为算法的解。
6. 在算法的步骤 5 - 13 中，计算移动和静态传感器的初始位置以及移动传感器的移动调度。
3.3 引理 1
设 (opt) 是最优解中所需的最少传感器数量，(opt’) 是图 (G) 上长度 (\leq vt) 且覆盖 (U) 的最小路径数量。那么 (opt \geq opt’)。
证明过程：假设 (opt < opt’)，考虑最优解中移动和静态传感器在任何时间段 ([t_0, t_0 + t]) 内的移动路径，静态传感器的路径长度为零。设 (P_1, P_2, \cdots, P_{opt}) 是传感器的移动路径，且 (|P_i| \leq vt)。由于每个顶点在时间段 (t) 内至少被一个传感器访问一次，所以 (\bigcup P_i) 覆盖了 (U) 的所有顶点。因此，({P_1, P_2, \cdots, P_{opt}}) 是一组长度 (\leq vt) 且覆盖 (U) 的路径，这与 (opt < opt’) 矛盾。所以 (opt \geq opt’)。
4. 技术要点总结与对比
4.1 不同算法与问题的关键指标对比
| 问题类型 | 关键指标 | 解决方案特点 |
|---|---|---|
| 稳定一致共识问题 | (n)（节点数量）、(t)（故障节点数量） | 当 (n > 2t) 时可解，需满足稳定、有效、一致三个条件 |
| 虚拟环上的发布/订阅系统 | (C_N)（节点邻居数量上限）、租赁期 | 通过虚拟环、生成树、邻域关系层构建，利用租赁实现自稳定 |
| 移动和静态传感器的扫描覆盖问题 | (opt)（最优传感器数量）、(opt’)（最小路径数量） | 提出 GSweepCoverage 算法，解决 NP 难问题 |
4.2 各系统技术流程对比
graph LR
classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
A(稳定一致共识问题):::startend --> B(检查 n 与 2t 关系):::process
B --> C{满足 n > 2t?}:::process
C -->|是| D(验证三个条件):::process
C -->|否| E(问题不可解):::process
F(虚拟环上的发布/订阅系统):::startend --> G(构建虚拟环层):::process
G --> H(维护生成树层):::process
H --> I(建立邻域关系层):::process
I --> J(使用租赁实现自稳定):::process
K(移动和静态传感器的扫描覆盖问题):::startend --> L(执行 n 次迭代):::process
L --> M(计算最小生成森林):::process
M --> N(找到不相交巡回):::process
N --> O(划分巡回):::process
O --> P(选择最小传感器数量):::process
5. 实际应用与潜在挑战
5.1 实际应用场景
- 稳定一致共识问题 ：在分布式移动网络中，如无人机编队、车载自组织网络等，确保节点间达成一致决策，避免因故障节点导致的系统混乱。
- 虚拟环上的发布/订阅系统 ：适用于无线传感器网络，如环境监测、智能家居等领域，实现数据的高效发布和订阅。
- 移动和静态传感器的扫描覆盖问题 ：可用于安全监控、物流仓储等场景，通过合理部署传感器，实现对特定区域的有效覆盖。
5.2 潜在挑战
- 稳定一致共识问题 ：在动态变化的移动网络中，准确判断故障节点数量 (t) 较为困难，可能影响问题的可解性。
- 虚拟环上的发布/订阅系统 ：维护虚拟环和捷径的更新需要消耗大量的网络资源，在大规模网络中可能导致性能下降。
- 移动和静态传感器的扫描覆盖问题 ：GSweepCoverage 算法的时间复杂度较高，在处理大规模图时可能效率较低。
6. 未来发展方向
6.1 算法优化
- 针对稳定一致共识问题，研究更高效的故障检测和容错算法，降低对节点数量和故障节点数量的依赖。
- 对于虚拟环上的发布/订阅系统，优化捷径的选择和更新策略，减少网络资源的消耗。
- 改进移动和静态传感器的扫描覆盖算法，降低时间复杂度，提高算法的效率。
6.2 系统扩展
- 将稳定一致共识问题的研究扩展到更复杂的网络拓扑和故障类型，如拜占庭故障。
- 探索虚拟环上的发布/订阅系统在不同类型网络中的应用，如卫星网络、工业物联网等。
- 研究移动和静态传感器的扫描覆盖问题在三维空间中的应用，如无人机巡检、水下监测等。
7. 总结
本文介绍了三个不同领域的研究成果，包括移动网络中的稳定一致共识问题、虚拟环上的发布/订阅系统以及移动和静态传感器的扫描覆盖问题。每个问题都有其独特的解决方案和应用场景，同时也面临着一些潜在的挑战。未来，需要进一步优化算法、扩展系统，以适应不断发展的网络环境和应用需求。通过对这些问题的研究和解决，有望推动无线网络技术的发展，为各个领域的应用提供更可靠、高效的支持。
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