44、移动网络中稳定一致共识的紧界分析

移动网络中稳定一致共识的紧界分析

在分布式系统中，稳定一致共识是一个关键问题，尤其是在存在各种故障的情况下。本文将深入探讨在崩溃故障、发送遗漏故障和一般遗漏故障下，稳定一致共识的可解性，并介绍一种解决崩溃和发送遗漏故障的算法。

崩溃故障下的稳定一致共识

在输入不固定且节点数量 $n$ 小于等于 $2t$（$t$ 为可能出现故障的节点数量）的情况下，不存在解决稳定一致共识的协议。下面通过定理 1 来证明这一点。

定理 1 ：若输入不固定且 $n \leq 2t$，则不存在解决崩溃故障下稳定一致共识的协议。
- 证明思路 ：只需证明当 $n = 2t$ 时不存在这样的协议。假设存在协议 $P$，考虑系统 $G = G_0 \cup G_1$，且 $|G_0| = |G_1| = t > 0$。根据引理 4，存在可达配置 $C$，使得 $G_1$ 的配置 $C_1$ 是 0 - 价的。从 $C$ 开始执行协议 $P$，让 $G_0$ 中的所有节点将输入改为 1 后崩溃。此时所有节点的输入稳定为 1，根据共识的有效性，正确节点的输出最终应稳定为 1。但 $G_1$ 中的节点无法区分此执行与 $G_0$ 节点输入为 0 并崩溃的执行，所以它们最终输出 0，产生矛盾。

引理 4 ：在无故障执行中存在某个配置 $C$，使得 $C_1$ 是 0 - 价的。
- 证明思路 ：根据引理 2，无故障执行中达到的每个配置 $C$ 要么是 0 - 价的，要么是 1 - 价的。假设 $C_1$ 是 1 - 价的，考虑输入固定的执行 $F(I)$，系统最终会达到某个输出稳定的配置 $D$。假设 $D$ 的稳定输出值为 $v = 0$，但根据假设 $D_1$ 是 1 - 价的，这意味着在 $\alpha(D_1)$ 中存在一个执行 $\beta$，使得 $G_1$ 中的节点输出最终稳定为 1。另一方面，考虑从 $D$ 到某个点 $T$ 的无故障部分执行，它与 $\beta$ 相似，但 $G_0$ 中的节点不崩溃，且 $G_0$ 和 $G_1$ 中的节点不相遇。根据 $D$ 的定义，$G_1$ 中的节点在 $T$ 时刻输出 0，但它们无法区分此执行与 $\beta$，所以在 $T$ 时刻输出 1，产生矛盾。

发送遗漏故障下的稳定一致共识

对于发送遗漏故障，先考虑 $n \leq 2t$，$n \geq 4$ 且 $t \geq 2$ 的情况，再考虑 $n = 3$ 且 $t = 2$ 的特殊情况。这里使用二价论证和反证法，构造一个无故障执行，该执行满足局部公平性以及节点 $i$ 无限次向节点 $j$ 发送消息时，$j$ 无限次接收消息的条件，但违反了稳定条件。

引理 5 ：$I_0$ 是 0 - 价的，$I_1$ 是 1 - 价的。
- 证明思路 ：该引理由于稳定一致共识的有效性条件成立，证明因篇幅限制省略。

定义 $\theta(G_0)$（或 $\theta(G_1)$）为以下执行（称为分区执行）：
1. 每个组中的所有节点仅与该组内的节点成功相遇一次。
2. $G_0$（或 $G_1$）组中的所有节点仅与 $G_1$（或 $G_0$）组中的所有节点相遇一次，但 $G_0$（或 $G_1$）到 $G_1$（或 $G_0$）的所有消息都不传递。
3. 确定地选择一对节点 $i$ 和 $j$，其中 $i$ 在 $G_1$（或 $G_0$）中，$j$ 在 $G_0$（或 $G_1$）中，且节点 $i$ 成功与 $j$ 相遇。

$\theta(C_0)$（或 $\theta(C_1)$）表示从 $C$ 开始的执行集合，其中无限次重复分区执行 $\theta(G_0)$（或 $\theta(G_1)$），并选择有效的节点对 $i$ 和 $j$，使得 $G_1$（或 $G_0$）中的每个节点无限次成功与 $G_0$（或 $G_1$）中的其他节点相遇。

引理 6 ：考虑配置 $C$，其中 $C_0$ 是 $v$ - 价的，$C_1$ 是 $v’$ - 价的（$v \neq v’$）。则在 $\theta(C_0)$ 中存在可达配置 $A$，使得：
1. $A_1$ 是 $v’$ - 价的。
2. 对于从 $A$ 开始的一次相遇，若发起者在 $G_0$ 中，接收者在 $G_1$ 中，则得到的配置 $B$ 的 $B_1$ 总是 $v$ - 价的。

引理 7 ：考虑配置 $C$，其中 $C_0$ 是 $v$ - 价的，$C_1$ 是 $v’$ - 价的（$v \neq v’$）。则在 $\theta(C_1)$ 中存在可达配置 $A$，使得：
1. $A_0$ 是 $v$ - 价的。
2. 对于从 $A$ 开始的一次相遇，若发起者在 $G_1$ 中，接收者在 $G_0$ 中，则得到的配置 $B$ 的 $B_0$ 总是 $v’$ - 价的。

引理 8 ：对于 $n \leq 2t$，$t \geq 2$ 且 $n \geq 4$，不存在解决发送遗漏故障下稳定一致共识的协议。
- 证明思路 ：只需证明当 $n = 2t$ 时不存在这样的协议。假设存在协议 $P$，构造一个无故障执行，其中存在无限序列的二价配置 $C_k$，这与稳定一致共识的稳定条件矛盾。

下面通过一个流程图来展示引理 8 的证明过程：

graph TD;
    A[假设存在协议P] --> B[构造二价配置C0];
    B --> C[假设已构造Ck];
    C --> D{k为偶数?};
    D -- 是 --> E[考虑β(C0k)执行];
    D -- 否 --> F[考虑β(C1k)执行];
    E --> G[选择节点对p,q];
    F --> G;
    G --> H[根据引理6得到配置A];
    H --> I[构造部分执行γ1];
    I --> J[得到配置D];
    J --> K{D0是1 - 价?};
    K -- 是 --> L[Ck+1 = D];
    K -- 否 --> M[构造执行γ2];
    M --> N[得到配置F];
    N --> O[Ck+1 = F];
    L --> P[继续构造Ck+2];
    O --> P;

引理 9 ：对于 $t = 2$ 且 $n = 3$，即使输入固定，也不存在解决发送遗漏故障下稳定一致共识的协议。（证明因篇幅限制省略）

定理 2 ：若 $t \geq 2$ 且 $n \leq 2t$，即使输入固定，发送遗漏故障下的稳定一致共识也是不可解的。
- 证明思路 ：该结果由引理 8 和引理 9 得出。

一般遗漏故障下的稳定一致共识

定理 3 ：即使输入固定，存在一个节点受一般遗漏故障影响时，也不存在解决稳定一致共识的协议。
- 证明思路 ：假设存在协议 $P$，根据二价论证，存在两个初始配置 $C$ 和 $C’$，仅某个节点 $i$ 的初始值不同，且 $I$ 是 0 - 价的，$I’$ 是 1 - 价的。考虑节点 $i$ 受一般遗漏故障影响的执行集合 $\alpha$，系统最终会达到输出稳定的配置 $D$，假设稳定输出值为 $v = 1$。选择节点 $j$，它在 $T$ 时刻输出 1。再考虑节点 $j$ 受一般遗漏故障影响的执行集合 $\beta$，系统会达到输出稳定的配置 $D’$，假设稳定输出值为 $v’$。通过构造一个部分执行，发现节点 $j$ 无法区分不同的执行，从而得出 $v’ = 1$。重复类似的无故障部分执行，会得到一个满足局部公平性和消息接收条件的无故障执行，但所有节点没有稳定输出 0，这与 $I$ 是 0 - 价的假设矛盾。

下面通过一个表格总结不同故障类型下稳定一致共识的可解性：
| 故障类型 | 条件 | 可解性 |
| ---- | ---- | ---- |
| 崩溃故障 | 输入不固定且 $n \leq 2t$ | 不可解 |
| 发送遗漏故障 | $t \geq 2$ 且 $n \leq 2t$，输入固定 | 不可解 |
| 一般遗漏故障 | 存在一个节点受一般遗漏故障影响，输入固定 | 不可解 |

移动网络中稳定一致共识的紧界分析

解决崩溃和发送遗漏故障的稳定一致共识算法

在前面讨论了不同故障类型下稳定一致共识的不可解性后，接下来介绍一种解决崩溃和发送遗漏故障的稳定一致共识算法。该算法主要考虑在输入可稳定的情况下，容忍 $t$ 个崩溃或发送遗漏故障，前提是节点总数 $n > 2t$（$t \geq 1$）。

每个节点 $i$ 维护以下变量：
- my_inputi ：表示当前输入端口的读数。
- inputs[i][] ：一个矩阵，用于维护每个节点已知的输入值估计（ inputs[i][i] 保存节点 $i$ 已知的值）。
- C_INPUTi[] ：一个数组，用于维护所有节点的一致输入值。
- ci[] ：一个计数器数组，用于跟踪每个节点输入变化的次数，其中 ci[i] 用于跟踪本地输入的变化次数。

以下是该算法的详细代码：

Code for node i
Variables:
1 my_inputi, ci[], inputs[i][], C_INPUTi[]
Initialization:
2 for all k, j: inputs[i][k][j] = 0, C_INPUTi[k] = 0, ci[k] = 0
State update:
3 when inputs[i][i][i] != my_inputi
4     ci[i] = ci[i] + 1
5     inputs[i][i][i] = my_inputi
6 when node i encounters node j
7     i sends inputs[i][i][], ci[] to j
8 when node i receives inputs[j][j][], cj[] from j do
9     inputs[i][j][] = inputs[j][j][]
10    for all k != i:
11        if cj[k] > ci[k] then
12            ci[k] = cj[k]
13            inputs[i][i][k] = inputs[j][j][k]
Output:
14    for all j
15        if ∃v : |k : inputs[i][k][j] = v| ≥ n - t then C_INPUT[j] = v else C_INPUT[j] = 0
16        if ∃v : |k : C_INPUTi[k] = v| ≥ n - t then outputs v else outputs 0

下面通过一个表格来解释代码中各个部分的功能：
| 代码行 | 功能描述 |
| ---- | ---- |
| 1 | 定义节点 $i$ 维护的变量 |
| 2 | 初始化变量，将所有相关数组元素置为 0 |
| 3 - 5 | 当本地输入发生变化时，更新计数器和输入矩阵 |
| 6 - 7 | 当节点 $i$ 与节点 $j$ 相遇时，发送自身的输入矩阵和计数器数组 |
| 8 - 13 | 当节点 $i$ 收到节点 $j$ 的信息时，更新自身的输入矩阵和计数器数组 |
| 14 - 16 | 根据输入矩阵和一致输入数组的情况输出最终结果 |

接下来分析该算法的一些引理：
- 引理 10 ：对于任意节点 $i$， ci[i] 最终会稳定。
- 证明思路 ：由于节点 $i$ 的输入只能改变有限次， ci[i] 是有界的，且该变量不会减小，所以最终会稳定。
- 引理 11 ：对于任意节点 $i$ 和 $j$， ci[j] 最终会稳定。
- 证明思路 ：若 $j = i$，根据引理 10 可知 ci[i] 最终稳定。若 $j \neq i$，根据引理 10， cj[j] 最终会稳定到某个值 $c_j$，且对于任意 $k$ 有 $c_k[j] \leq c_j[j]$。在某个时间 $t$ 之后， ci[j] 不会减小，所以最终会稳定。
- 引理 12 ：对于任意节点 $i$ 和 $j$， inputs[i][i][j] 最终会稳定。
- 证明思路 ：由于节点 $i$ 的输入只能改变有限次， inputs[i][i][i] 必然会稳定。对于 $j \neq i$，根据引理 11， ci[j] 最终稳定，这意味着节点 $i$ 最终会停止更新 inputs[i][i][j] 。

下面通过一个流程图来展示引理 11 和引理 12 的证明逻辑关系：

graph TD;
    A[引理10] --> B[ci[i]最终稳定];
    B --> C{j = i?};
    C -- 是 --> D[ci[j]最终稳定];
    C -- 否 --> E[cj[j]最终稳定到cj];
    E --> F[ck[j] <= cj[j]];
    F --> G[ci[j]最终稳定];
    B --> H[inputs[i][i][i]最终稳定];
    G --> I[ci[j]稳定];
    I --> J[inputs[i][i][j]最终稳定];

• 引理 13 ：假设节点 $i$ 是正确节点，且 inputs[i][i][i] 稳定到 $v_i$，则对于任意节点 $j$， inputj[j][i] 最终会稳定到 $v_i$。
  • 证明思路 ：根据引理 11， cj[i] 最终稳定，所以节点 $j$ 最终会停止更新 inputj[j][i] 。由于节点 $i$ 是正确的，且其输入稳定到 $v_i$，节点 $j$ 最终会与节点 $i$ 相遇，并将 inputj[j][i] 设置为 $v_i$。
• 引理 14 ：如果节点 $j$ 和 $k$ 是正确节点，对于任意节点 $i$，若 inputj[j][i] 稳定到 $v_j$， inputk[k][i] 稳定到 $v_k$，则 $v_j = v_k$。
  • 证明思路 ：若 $i = k$ 或 $j = k$，根据引理 13 可知该引理成立。若 $i \neq j, k$，分两种情况讨论。若 $c_k[i] \neq c_j[i]$，不妨设 $c_k[i] > c_j[i]$，由于 $j$ 和 $k$ 是正确节点，$j$ 和 $i$ 会无限次成功相遇，$k$ 收到 $j$ 的消息后会更新 ck[i] 和 inputsk[k][i] ，使得 $c_k = c_j$ 且 $v_k = v_j$。若 $c_k[i] = c_j[i]$，由于 ci[i] 只会在节点 $i$ 改变输入时增加，所以 $v_k = v_j$。
• 引理 15 ：对于任意节点 $i$、$j$ 和 $k$， inputs[i][j][k] 在时间 $T$ 之后会稳定。
  • 证明思路 ：该引理直接由引理 12 得出。
• 引理 16 ：对于任意节点 $i$ 和 $j$， C_INPUTi[j] 在时间 $T$ 之后会稳定。
  • 证明思路 ：根据引理 15，在时间 $T$ 之后， inputs[i][k][j] 最终会稳定。若存在某个值 $v$ 使得 $|k : inputs[i][k][j] = v| \geq n - t$，则将 C_INPUTi[j] 设置为 $v$，且该值不会再改变。若不存在这样的值，则将 C_INPUTi[j] 设置为 0，且该值也不会再改变。
• 引理 17 ：假设节点 $i$ 是正确节点，且 my_inputi 稳定到 $v_i$，对于任意节点 $j$， C_INPUTj[i] 最终会稳定到 $v_i$。
  • 证明思路 ：根据引理 13，对于每个正确节点 $k$， inputsk[k][i] 最终会稳定到 $v_i$。对于任意节点 $j$，在时间 $T$ 之后，它会收到所有正确节点 $k$ 的消息，使得 inputsj[k][i] = v_i 。由于至少有 $n - t$ 个正确节点，最终会满足代码中第 15 行的条件，节点 $j$ 的 C_INPUTj[i] 会等于 $v_i$。

通过以上引理的证明，可以验证该算法在崩溃和发送遗漏故障下能够实现稳定一致共识。在实际应用中，该算法可以帮助分布式系统在存在一定故障的情况下，仍然能够达成一致的决策，提高系统的可靠性和稳定性。