34、移动机器人算法综合：从可达性游戏到分布式算法生成

移动机器人算法综合：从可达性游戏到分布式算法生成

1. 可达性游戏与机器人聚集问题

在解决移动机器人在环形网络上的聚集问题时，我们构建了一个可达性游戏的竞技场。这个竞技场的构建目的是，若主角玩家存在获胜策略，那么就能够设计出一种算法，使机器人从任何初始配置开始，最终聚集在一个节点上。

机器人可能的移动决策集合为 $\Delta = {↷,↶,↑,?}$，其中 $?$ 是迷失方向但仍想移动的机器人所采取的特殊决策。竞技场 $A_{gather} = (V_p \uplus V_o, E)$ 由主角状态集合 $V_p = (C / \equiv)$ 和对手状态集合 $V_o = C \times (\Delta^k)$ 组成，其规模与节点数 $n$ 呈线性关系，与机器人数量 $k$ 呈指数关系。

从主角状态到对手状态的边关系 $E$ 确保了两个玩家的严格交替。具体来说，对于任意 $v \in V_p$ 和 $v’ \in V_o$，$(v, v’) \in E$ 当且仅当存在一个决策函数 $f$，使得 $v’ = (C, (a_1, …, a_k))$，其中 $C = rep(v) = (d_1, …, d_k)$，且对于所有 $1 \leq i \leq k$，$a_i = f(C, i)$。

然而，原有的观察定义在处理多个机器人堆叠成塔的情况时存在不足。因此，我们引入了机器人视图的概念。对于机器人 $i$，其视图 $view_i(C)$ 定义为：设 $C \in C$ 且 $1 \leq i \leq k$，$(d_1, …, d_k) \in obs_i(C)$ 是按字典序排列的 $C$ 的最小观察值，$view_i(C) = {(d_i, …, d_j),