19、分布式算法收敛性与自同步协作波束成形研究

分布式算法收敛性与自同步协作波束成形研究

算法收敛性分析

在分布式系统中，算法的收敛性是一个关键问题。对于算法 DcD，它收敛到合法状态所需的时间较长。根据引理 1，在某些图和配置设置下，收敛到合法状态至少需要额外的 $\Omega(n^2)$ 轮。

而算法 FDcD 在公平守护进程下有更好的收敛表现。定理 1 表明，在公平守护进程下，算法 FDcD 总是能在 $2n + D - 2$ 轮内收敛到合法状态，其中 $D$ 是包含节点 $r$ 的连通分量 $V_r$ 的跳直径。

下面我们来看在不公平守护进程下算法 FDcD 的收敛情况。
- 引理 7 ：如果在某个时刻一个节点已经执行了 $k$ 次，那么它至少执行了 $\left\lfloor\frac{k - 2}{3}\right\rfloor$ 次规则 RC。
- 证明 ：当状态为 E 的节点被启用时，它可以执行规则 RC 或规则 RI。而状态为 I 的节点只能执行规则 RC。因此，在一个节点连续两次执行规则 RC 之间，最多只能有两次其他规则的执行。
- 定义 12 ：如果在规则执行后，节点 $u$ 的距离值 $d_u$ 等于 dist，则称节点 $u$ 以（距离）值 dist 执行规则。
- 引理 8 ：规则 RC 不能以相同的距离值无限次执行。
- 证明 ：为了得到矛盾，考虑算法 FDcD 的任何（无限）执行 $e$，其中规则 RC 以相同的距离值无限次应用。设 $d_{min}$ 是这