45、核方法：Kernel Fisher判别与贝叶斯核方法解析

核方法：Kernel Fisher判别与贝叶斯核方法解析

1. Kernel Fisher判别（KFD）算法概述

Kernel Fisher判别（KFD）分析可看作是支持向量机（SVM）分类器和核主成分分析（Kernel PCA）的融合。它与其他分类器一样，会考虑数据的标签 $y_i$；和PCA类似，通过最大化一个涉及方差的准则，在数据集中找到一个“有趣”的方向。并且，KFD分析和SVM、Kernel PCA一样，在由核函数诱导的特征空间中进行操作。

1.1 实验示例

1.1.1 玩具示例

使用一个玩具数据集来阐释KFD算法。实验采用高斯核函数：
[k(x, x’) = \exp\left(-\frac{|x - x’|^2}{c}\right)]
对同一玩具数据集进行三次KFD算法运行，每次使用不同的 $c$ 值：
- 大 $c$ 值 ：诱导的特征空间几何形状与输入空间相似，算法计算出的判别函数几乎是线性的。对于线性不可分的问题，这种情况显然不合适。
- 小 $c$ 值 ：核函数变得非常局部化，算法开始记忆数据。
- 中等核宽度 ：可以计算出良好的非线性分离。

在KFD中，不存在位于边界上的支持向量的几何概念，因为该算法不使用边界。

1.1.2 基准测试结果

对KFD在真实世界数据上的应用进行了广泛的基准测试比较，涉及13个不同的基准数据集，与支持向量机（SVM）、单一径向基函数分类器（RBF）、AdaBoost（AB）和正则化AdaBoost（ABR）进行对比，结果如下表所示：
| 数据集 | SVM | KFD | RBF | AB | ABR |
| — | — | — | — | — | — |
| Banana | 11.5±0.07 | 10.8±0.05 | 10.8±0.06 | 12.3±0.07 | 10.9±0.04 |
| Breast Cancer | 26.0±0.47 | 25.8±0.46 | 27.6±0.47 | 30.4±0.47 | 26.5±0.45 |
| Diabetes | 23.5±0.17 | 23.2±0.16 | 24.3±0.19 | 26.5±0.23 | 23.8±0.18 |
| German | 23.6±0.21 | 23.7±0.22 | 24.7±0.24 | 27.5±0.25 | 24.3±0.21 |
| Heart | 16.0±0.33 | 16.1±0.34 | 17.6±0.33 | 20.3±0.34 | 16.5±0.35 |
| Image | 3.0±0.06 | 3.3±0.06 | 3.3±0.06 | 2.7±0.07 | 2.7±0.06 |
| Ringnorm | 1.7±0.01 | 1.5±0.01 | 1.7±0.02 | 1.9±0.03 | 1.6±0.01 |
| F. Sonar | 32.4±0.18 | 33.2±0.17 | 34.4±0.20 | 35.7±0.18 | 34.2±0.22 |
| Splice | 10.9±0.07 | 10.5±0.06 | 10.0±0.10 | 10.1±0.05 | 9.5±0.07 |
| Thyroid | 4.8±0.22 | 4.2±0.21 | 4.5±0.21 | 4.4±0.22 | 4.6±0.22 |
| Titanic | 22.4±0.10 | 23.2±0.20 | 23.3±0.13 | 22.6±0.12 | 22.6±0.12 |
| Twonorm | 3.0±0.02 | 2.6±0.02 | 2.9±0.03 | 3.0±0.03 | 2.7±0.02 |
| Waveform | 9.9±0.04 | 9.9±0.04 | 10.7±0.11 | 10.8±0.06 | 9.8±0.08 |

从表中可以看出，KFD的表现非常出色，即使与最先进的分类器如AdaBoost和SVM相比也是如此。

1.2 KFD算法流程

graph TD;
    A[输入数据集] --> B[选择高斯核函数及参数c];
    B --> C[计算核矩阵];
    C --> D[在特征空间中计算Fisher判别];
    D --> E[得到判别函数];
    E --> F[对新数据进行分类];

2. 贝叶斯核方法概述

贝叶斯学习方法与风险最小化框架有一些根本的区别。其关键区别在于，贝叶斯方法允许将先验知识非常直观地融入到估计过程中。此外，在贝叶斯框架内，可以获得对估计过程本身的置信度和可靠性的估计，这些估计计算起来相对容易，不像在某些情况下遇到的一致收敛类型的界限。

2.1 贝叶斯估计的基本假设

2.1.1 似然性

假设给定一个假设 $f$ 以及关于将 $x$ 映射到 $y$ 的过程的信息。可以通过分布 $P(y|x, f(x))$ 以及如果存在密度则通过 $p(y|x, f(x))$ 来形式化这个过程。与之前的推理不同的是，假设分布 $P(y|x, f(x))$ 是已知的（在某些情况下，通过使用超参数可以放宽到对参数族的了解）。

给出几个例子来说明：
- 风速观测 ：$f(x)$ 是位置 $x$ 处的真实风速，$y$ 是观测到的风速，观测受到测量过程中的误差（仪器不精确、操作不当等）的影响。即 $y = f(x) + \epsilon$，其中 $\epsilon$ 是建模噪声过程的随机变量，$P(y|x, f(x)) = P(y - f(x))$。
- 图像像素 ：$y$ 和 $f(x)$ 是二进制变量，如图像上的黑白像素。例如，$f(x)$ 是位置 $x$ 处像素的颜色，$y$ 是通过（有噪声的）传真传输接收到的图像副本上该像素的颜色。此时只需考虑概率 $P(y|f(x))$，其中 $y, f(x) \in {-1, 1}$。
- 癌症预测 ：想要根据一组医学观察 $x$ 来建模患者患癌症的概率 $P(y = \text{cancer}|x)$，可以使用一个函数依赖 $f(x)$，通过转移函数将其转换为 $P(y|x)$。

给出三种转移函数的例子：
- 逻辑转移函数 ：
[P(y = 1|x, f(x)) = \frac{\exp(f(x))}{1 + \exp(f(x))}]
逻辑回归与此等价于建模：
[f(x) = \ln\frac{p(y = 1|f(x))}{p(y = -1|f(x))}]
- Probit ：假设 $y$ 由 $f$ 的符号给出，但受到高斯噪声的影响，即 $y = \text{sgn}(f(x) + \epsilon)$，其中 $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$。则有：
[p(y|f(x)) = \int \frac{\text{sgn}(yf(x) + \epsilon) + 1}{2} p(\epsilon) d\epsilon = \Phi\left(\frac{yf(x)}{\sigma}\right)]
其中 $\Phi$ 是正态分布的分布函数。
- 标签噪声 ：在存在随机标签噪声的情况下进行分类（可能除了之前讨论的噪声模型 $p_0(y|t)$），以概率 $2\zeta$ 随机分配标签（相当于以概率 $\zeta$ 随机翻转标签）。则有：
[p(y|f(x)) = \zeta + (1 - 2\zeta)p_0(y|f(x))]

当数据是独立同分布生成时，似然性可以分解为：
[P(Y|X, f) = \prod_{i = 1}^{m} P(y_i|x_i, f(x_i))]

2.1.2 先验分布

在解决实际估计问题时，通常对预期的结果有一些先验知识，例如对平滑估计的期望、对特定参数形式的偏好，或者输入 $x_i$ 的某些维度之间或不同位置的预测之间的首选相关性。以下是一些先验分布的例子：
- 参数先验 ：已知 $f$ 是 $\sin x$、$\cos x$、$\sin^2 x$ 和 $\cos^2 x$ 的线性组合，且系数从区间 $[-1, 1]$ 中选择。则密度 $p(f)$ 可以写为：
[p(f) =
\begin{cases}
\frac{1}{16} & \text{如果 } f = \beta_1 \sin x + \beta_2 \cos x + \beta_3 \sin^2 x + \beta_4 \cos^2 x, \text{ 其中 } \beta_i \in [-1, 1] \
0 & \text{否则}
\end{cases}
]
- 函数值的先验 ：对 $f$ 了解不多，只知道其值 $f(x_i)$ 是相关的，并且根据零均值和协方差矩阵 $K$ 的高斯分布分布。对于三个值（用 $f_i$ 作为简写），有：
[p(f_1, f_2, f_3) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 \det K}} \exp\left(-\frac{1}{2}(f_1, f_2, f_3) K^{-1} (f_1, f_2, f_3)^T\right)]
协方差矩阵 $K$ 的非对角元素越大，相应的函数值 $f(x_i)$ 和 $f(x_j)$ 相关性越强。
- 非参数先验 ：只知道平滑且值小的函数更有可能出现。可以假设函数出现的先验概率仅取决于其 $L^2$ 范数和其一阶导数的 $L^2$ 范数，即：
(-\ln p(f) = c + |f|^2 + |\frac{\partial f}{\partial x}|^2)

2.1.3 贝叶斯规则与推理

根据贝叶斯规则，结合条件概率和先验概率：
[p(Y|f, X)p(f) = p(Y, f|X)]
同时，也可以将 $p(Y, f|X)$ 分解为：
[p(f|Y, X)p(Y) = p(Y, f|X)]
通过组合这两个式子，可以得到贝叶斯规则：
[p(f|X, Y) = \frac{p(Y|f, X)p(f)}{p(Y)}]
由于 $f$ 不进入 $p(Y)$，可以简化为：
[p(f|X, Y) \propto p(Y|f, X)p(f)]

为了评估哪个假设 $f$ 更有可能出现，只需分析 $p(Y|f, X)p(f)$。此外，可以通过计算上式右边的归一化因子来恢复 $p(Y)$。最后，$p(f|X, Y)$ 还可以用于预测新位置 $x$ 处的 $y$：
[p(y|X, Y, x) = \int p(y|f, x)p(f|X, Y) df]

可以计算观测值 $y(x)$ 的期望值：
[\hat{y}(x) = E[y(x)|Z]]
并通过尾部界限来指定对估计的置信度：
[P\left(\left|y(x) - E[y(x)|Z]\right| > \delta|Z\right) \leq \epsilon]
然而，评估这个界限通常计算成本较高，在大多数情况下不能进行解析计算，因此需要使用近似方法。

2.2 贝叶斯核方法流程

graph TD;
    A[输入数据集] --> B[确定似然函数和先验分布];
    B --> C[根据贝叶斯规则计算后验分布];
    C --> D[使用近似方法进行推理];
    D --> E[得到预测结果];

3. 贝叶斯核方法的具体类型

3.1 高斯过程

高斯过程假设相邻系数是相关的。在理论上，我们已知函数值 $f(x_i)$ 是相关的，并且根据零均值和协方差矩阵 $K$ 的高斯分布分布，如之前提到的：
[p(f_1, f_2, f_3) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 \det K}} \exp\left(-\frac{1}{2}(f_1, f_2, f_3) K^{-1} (f_1, f_2, f_3)^T\right)]
这里的协方差矩阵 $K$ 与再生核希尔伯特空间和正则化理论中使用的核矩阵相同。

在实现方面，需要一些优化知识，如牛顿法和稀疏贪婪方法。其实现流程如下：

graph TD;
    A[输入数据集] --> B[确定协方差矩阵K];
    B --> C[根据高斯分布计算函数值的概率];
    C --> D[使用优化方法进行参数估计];
    D --> E[得到预测模型];
    E --> F[对新数据进行预测];

3.2 拉普拉斯过程

拉普拉斯过程假设估计可以展开为核函数的稀疏线性组合，因此更倾向于这样的假设。它的特点在于能够在保证一定精度的情况下，减少不必要的核函数的使用，从而提高计算效率。

其流程如下：

graph TD;
    A[输入数据集] --> B[选择核函数];
    B --> C[构建稀疏线性组合模型];
    C --> D[优化模型参数];
    D --> E[得到稀疏回归模型];
    E --> F[对新数据进行预测];

3.3 相关向量机

相关向量机假设每个核函数的贡献由具有自己方差的正态分布控制。与其他方法相比，它能够自动选择相关的核函数，减少模型的复杂度。

其工作流程如下：

graph TD;
    A[输入数据集] --> B[初始化核函数的方差];
    B --> C[计算每个核函数的贡献];
    C --> D[选择相关的核函数];
    D --> E[训练模型];
    E --> F[对新数据进行预测];

4. KFD与贝叶斯核方法的对比

4.1 性能对比

方法	优点	缺点
KFD	与SVM分类器表现相当，在某些问题上略好；可进行概率解释	训练程序不如SVM成熟，对于大规模数据集的竞争力有待提高
贝叶斯核方法	能直观融入先验知识，可获得估计过程的置信度和可靠性估计	部分计算需要近似方法，计算复杂度可能较高

4.2 应用场景对比

• KFD ：适用于中等规模问题，尤其是对分类性能要求较高且对概率解释有需求的场景。
• 贝叶斯核方法 ：在有先验知识可利用的情况下表现出色，可根据不同的先验分布假设（如高斯过程、拉普拉斯过程、相关向量机）应用于不同类型的问题。

5. 总结

Kernel Fisher判别（KFD）分析是一种融合了SVM分类器和Kernel PCA特点的算法，在一些基准测试中表现良好，但训练程序有待进一步完善。贝叶斯核方法则通过将先验知识融入估计过程，为学习问题提供了新的视角，并且能够获得对估计过程的置信度和可靠性估计。

两种方法各有优缺点，适用于不同的应用场景。在实际应用中，可以根据问题的特点、数据规模以及对模型性能和解释性的需求，选择合适的方法。同时，随着技术的不断发展，这些方法的性能和应用范围也有望得到进一步的提升和拓展。

以下是一个总结两种方法关键步骤的表格：
| 方法 | 关键步骤 |
| — | — |
| KFD | 选择高斯核函数及参数c，计算核矩阵，在特征空间中计算Fisher判别，得到判别函数，对新数据进行分类 |
| 贝叶斯核方法 | 确定似然函数和先验分布，根据贝叶斯规则计算后验分布，使用近似方法进行推理，得到预测结果 |

通过对这两种方法的深入了解和合理应用，能够更好地解决各种分类和回归问题。