18、优化算法中的内点法与最大搜索问题

优化算法中的内点法与最大搜索问题

在优化问题的求解中，内点法和最大搜索问题的相关算法是非常重要的组成部分。下面将详细介绍内点法以及最大搜索问题的相关内容。

1. 对偶二次优化问题

为了计算对偶问题，需要从相关方程中消去 $x$，并将其表示为 $\beta$ 的函数。通过一系列推导，得到对偶二次优化问题：
- 目标函数 ：最小化 $-\frac{1}{2}\beta^TA^TK^{-1}A\beta + [d - c^TK^{-1}A^T]\beta$
- 约束条件 ：$\beta \geq 0$

这个对偶问题的约束条件比原始问题显著简化，并且在某些情况下，二次项的表示更加紧凑。不过，再次对偶化该问题时，不会恢复到原始问题，而是得到一个结构与对偶问题非常相似的问题。

2. 内点法

内点法是一种用于解决约束问题的简单而有效的优化算法。内点是满足原始和对偶约束的变量对 $(x, \beta)$。为了解决二次规划问题，需要解决一系列方程。

2.1 解的充分条件

对原始方程进行了一些修改，将不等式约束转化为等式约束和正性约束，得到以下方程组：
- $Kx + A^T\beta + c = 0$（对偶可行性）
- $Ax + d + \epsilon = 0$（原始可行性）
- $\beta^T\epsilon = 0$
- $\beta, \epsilon \geq 0$

使用原始 - 对偶路径跟踪算法来解决这个问题。将 $\beta^T\epsil