17、约束优化问题的理论与实践

约束优化问题的理论与实践

在优化领域，约束优化问题是我们常常需要面对的重要课题，它在机器学习等诸多领域有着广泛的应用。下面我们将详细探讨约束优化问题的相关理论和方法。

1. 预测校正方法

预测校正方法是一种用于解决优化问题的有效算法，其具体步骤如下：

Require:
x0, Precision

Set i = 0
repeat
    Expand f into f(xi) + fsimple(Δ - xi) + T(Δ - xi).
    Predictor:
        Solve f(xi) + fsimple(Δpred - xi) = 0 for Δpred.
    Corrector:
        Solve f(xi) + fsimple(Δcorr - xi) + T(Δpred - xi) = 0 for Δcorr.
    xi+1 = xi + Δcorr.
    i = i + 1.
until f(xi) < Precision
Output: xi

其中， fsimple(Δ - x) 包含 f 的简单（可能是低阶）部分， T(Δ - x) 包含高阶项，且满足 fsimple(0 - x) + T(0 - x) = 0 。校正步骤的作用是消除额外的低阶项，同时不会引入过多的近似误差。这种方法在内部点算法等场景中会经常用到，例如在求解一组二次方程时。

2. 约束优化问题的一般形式 </