16、凸优化问题的数值求解技术

凸优化问题的数值求解技术

在优化领域，凸优化问题有着广泛的应用。本文将详细介绍求解凸优化问题的多种数值技术，包括单变量函数和多变量函数的优化方法。

1. 凸函数与凸集的基本性质

在凸多面体集合上的凸函数具有一些重要性质。例如，对于一个凸函数在凸紧集上，其最大值可以在约束域的顶点处找到。具体定理如下：
- 定理 6.12（凸紧集上凸函数的最大值） ：设 (X) 是 (\mathbb{R}) 中的紧凸集，(\partial X) 是 (X) 的顶点集，(f) 是 (X) 上的凸函数，则 (\sup{f(x):x\in X}=\sup{f(x):x\in\partial X})。
该定理的证明可通过应用定理 6.10 和定理 6.11 得出，因为在给定 (X) 的假设下，(X = co(\partial X))。

2. 无约束问题的数值求解技术

在了解了凸函数和凸集的基本性质后，接下来将研究求解凸优化问题的数值技术，包括单变量函数和多变量函数的情况。

2.1 单变量函数的优化

对于单变量函数 (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) 在区间 ([a,b]) 上的优化问题，如果对 (f) 没有更多假设，该问题无法通过数值方法求解。但如果 (f) 可微，问题可转化为求 (f’(x)=0) 的解。若 (f) 还是凸函数，则 (f’) 是非递减的，可使用以下两种算法求解。

• 区间切割算法（Interval Cutting）
  • 算法步骤 </