70、函数式大步语义：原理、优势与实践

函数式大步语义：原理、优势与实践

1. 引言

在对编程语言进行机械化证明时，选择合适的操作语义并非易事。常见的小步语义和大步语义各有优劣。小步语义适用于语言特性复杂、定理语义微妙的情况，它能让我们细致观察程序执行过程，从而支持强大的证明技术；而大步语义则遵循编程语言的语法结构，能与编译器、类型系统等良好配合，降低机械化证明的开销。

对于大型项目，可采用混合方法。不过，本文着重介绍函数式大步语义，它能支持许多通常依赖小步语义的证明和语言，同时保持与语言语法一致的结构。函数式大步语义本质上是一个纯函数式的解释器，并配备时钟以确保函数的全功能性，即使在处理发散程序时也能正常运行。

函数式大步语义具有以下优势：
- 易于阅读，对函数式程序员来说很熟悉，避免了归纳关系定义的大步语义中的大量重复，尤其适用于有异常和非局部控制流的语言。
- 便于在基于重写的机械化证明中使用，因为它以等式形式表述。
- 能产生更好的归纳定理，避免了关系型大步语义中不必要的情况拆分。
- 时钟方便证明编译器对程序发散行为的保留，也便于定义和使用步长索引逻辑关系。
- 可在状态中使用预言机来支持具有 I/O 和非确定性的语言。

然而，函数式大步语义也有局限性，如定义时需引入时钟，在某些递归调用时时钟必须递减；对于非确定性语言，需要预言机状态组件来消除非确定性；目前尚未研究具有无结构非确定性（如并发）的语言。

2. 示例语义

为了说明函数式大步语义，我们定义一个名为 FOR 的玩具语言的操作语义，该语言包含类似 C 语言的 for 循环和 break 语句。

2.1 SML 解释器