68、基于约束求解器的归纳不变式推理算法解析

基于约束求解器的归纳不变式推理算法解析

1. 算法实现细节

在算法运行过程中，需要维护关于集合 (S^{\sharp}) 中盒子的一些信息，如覆盖率、是否良性或有用等。对 (S^{\sharp}) 中单个盒子的修改，可能会影响该盒子以及其他盒子的覆盖率和类别。为了高效更新这些信息，避免每次操作后扫描整个 (S^{\sharp})，我们采用了以下数据结构和方法。

1.1 分区处理

引入一个盒子集合 (P^{\sharp} \in \mathcal{P}(D^{\sharp}))，它与 (S^{\sharp}) 类似，盒子之间不重叠，但能覆盖整个不变空间 (I^{\sharp})。同时，确保 (P^{\sharp}) 中的每个盒子最多包含 (S^{\sharp}) 中的一个盒子，并维护一个内容函数 (cnt: P^{\sharp} \to (S^{\sharp} \cup {\varnothing}))，用于指示 (P^{\sharp}) 中每个部分包含的 (S^{\sharp}) 中的盒子。当 (S^{\sharp}) 中的盒子被拆分时，相应地拆分 (P^{\sharp}) 中的盒子；而当 (S^{\sharp}) 中的盒子被收紧或丢弃时，(P^{\sharp}) 无需改变。

还维护了一个映射 (post: S^{\sharp} \to \mathcal{P}(P^{\sharp}))，用于表示 (P^{\sharp}) 中哪些部分与 (S^{\sharp}) 中盒子的图像相交：
[post(S^{\sharp}) \stackrel{\text{def}}{=} { P^{\sharp} \in P^{\sharp} | \gamma(F^{\s