62、高阶逻辑中的概率函数与密码学预言机

高阶逻辑中的概率函数与密码学预言机

1. 核心概念与基础定义

在密码学的研究中，有几个核心概念和基础定义至关重要。首先是计算迪菲 - 赫尔曼（CDH）假设，它指出在已知 (g^x) 和 (g^y) 的情况下，很难计算出 (g^{x \cdot y})。为了便于分析，我们引入了 CDH 的集合版本 LCDH。LCDH 对手 (A) 是一个从两个群元素到一组群元素的概率函数，其优势 (adv - lcdh A) 是安全游戏 (lcdh) 中结果为 (True) 的概率，具体的 (lcdh) 游戏定义如下：

lcdh A = do {
    x ← uniform { 0 ..< |G| };
    y ← uniform { 0 ..< |G| };
    Z ← A (g^x) (g^y);
    returnspmf (g^(x · y) ∈ Z) 
}

在随机预言机模型中，哈希函数被理想化为随机函数。随机预言机 (hash - O) 实现了这样的随机函数，其状态 (sO) 是一个从群元素（输入）到比特串（输出）的映射，用于关联之前的查询和输出。每次调用时，预言机会在映射 (sO) 中查找输入 (x)，如果找到则返回相应的输出；如果未找到，则返回一个长度为 (n) 的新比特串 (bs)，并更新映射 (sO) 以关联 (x) 和 (bs)，其代码如下：

hash - O sO x =
    case sO x of 
        None ⇒ do {
            bs ← uni