61、高阶逻辑中的概率函数与密码学预言机

高阶逻辑中的概率函数与密码学预言机

1. 相关命题证明

• relspmf 的可允许性 ：证明 relspmf 是可允许的，需证明对于 relspmf R 中的所有对的链 Y，有 ( (π1 ‘ Y )) (relspmf R) ( (π2 ‘ Y ))。通过利用测度对 relspmf 的刻画，结合 lub 与测度的交换性、SUP 的单调性以及链中元素的 relspmf 刻画来完成证明：
  [
  \begin{align }
  \text{measure } ( (\pi_1 ‘ Y )) A &= \text{SUP } (p, ) \in Y. \text{measure } p A\
  &\leq \text{SUP } ( , q) \in Y. \text{measure } q { y. \exists x \in A. x R y }\
  &= \text{measure } ( (\pi_2 ‘ Y )) { y. \exists x \in A. x R y }
  \end{align }
  ]
  但通过联合 spmfs 来证明可允许性并不明确，因为链中对的联合 spmfs 本身不一定构成链，所以无法将 lub 的联合 spmf 构造为联合 spmfs 的 lub。
• 关系子的可允许性性质 ：关系子的可允许性在函数空间（逐点排序）和乘积（按分量排序）下得以保留。因此，对于 ⇒α spmf、α spmf × β spmf 等的不动点，类似定理 1 的结论成立，这有助于证明（相互）递归概率函