60、高阶逻辑中的概率函数与密码学预言机

高阶逻辑中的概率函数与密码学预言机

1. 数据类型与映射

在逻辑体系中，数据类型 α option （对应Haskell中的 Maybe 类型），它通过添加新元素 None 来扩展类型 α ，而 α 中的所有现有值都以 Some 作为前缀。映射（部分函数）被建模为类型为 α ⇒β option 的函数，其中 None 表示未定义， f x = Some y 意味着 f 将 x 映射到 y 。空映射 ∅ = (λ . None) 在任何地方都是未定义的。映射更新定义如下： f(a →b) = (λx. if x = a then Some b else f x) 。

2. 浅概率函数式语言

在计算模型中，安全概念通过由对手参数化的游戏来表达。在形式化这些游戏时，我们尽可能利用证明器的基础设施。因此，我们仅对证明器术语语言无法表达的内容进行显式建模，即概率和对预言机的访问。

我们将游戏建模为返回结果上离散（子）概率分布的函数。离散子概率在表达能力和易用性之间取得了平衡。它们为序列和失败提供了单子结构，因此游戏可以自然地表述，并且在对手产生无效数据等错误情况下，控制可以非局部转移。它们还包含用于定义递归函数的不动点运算符。

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