23、多元统计分析与信号分离技术

多元统计分析与信号分离技术

1. 多元统计分析简介

多元分析旨在理解和描述任意数量变量之间的关系。地球科学家经常处理多元数据集，例如微化石组合、火山灰层的地球化学指纹或沉积序列中的粘土矿物含量。当不同参数之间存在复杂关系时，单变量统计会忽略数据的信息内容。不过，有多种方法可用于研究多元数据的缩放特性。

多元数据集由对 n 个对象的 p 个变量的测量值组成，通常存储在 n×p 的数组中。数组的列代表 p 个变量，行代表 n 个对象。例如，在一个火山灰年代测定项目中，对火山灰层中的玻璃碎片进行微探针分析，变量代表 p 种化学元素，对象则是 n 个火山灰样本，研究目的是通过地球化学指纹来关联火山灰层。

多元数据集面临的主要困难是数据可视化。单变量或双变量数据集可以通过二维直方图或 xy 图轻松探索，而三变量数据集的图形显示需要将三维数据点分布投影到二维，更高维的变量则难以想象或显示。解决高维数据集可视化问题的一种方法是减少维度，一些方法会将数据集中高度相关的变量分组，然后探索减少后的组。

经典的降维方法包括主成分分析（PCA）和因子分析（FA）。这些方法会寻找数据集中方差最大的方向，并将其用作新的坐标轴。用新的变量组替换原有变量的优势在于这些组是不相关的，并且通常有助于解释多元数据集，因为它们往往包含有关生成数据点分布过程的有价值信息。例如，在岩浆岩的地球化学分析中，这些组通常包含离子大小相似且在某些矿物晶格中位置相似的化学元素，如硅酸盐中的 Si⁴⁺和 Al³⁺，以及 Fe²⁺和 Mg²⁺。

另一类重要的多元方法旨在根据对象的相似性对其进行分组。例如，聚类分析（CA）常用于关联火山灰层。火山灰年代测定试图通过地球化学指纹来关联火山灰，结合关键火山灰层的放射性年龄测定，这种方法可以关联包含这些火山灰层的沉积序列。此外，聚类分析在微古生物学领域也有应用，例如用于比较微化石组合中的花粉、有孔虫或硅藻含量。

2. 主成分分析（PCA）

2.1 PCA 原理

主成分分析（PCA）用于检测变量之间的线性依赖关系，并将相关变量组替换为新的不相关变量，即主成分（PC）。该方法由 Karl Pearson 于 1901 年引入，并由 Harold Hotelling 于 1931 年进一步发展。

以双变量数据集为例，在正交的 xy 坐标系中，两个变量 x 和 y 可能存在强线性相关性。这两个变量有各自的单变量均值和方差，双变量数据集可以用双变量样本均值和协方差来描述。通过将 xy 坐标系替换为新的正交坐标系，其中第一轴穿过数据散点的长轴，新原点为双变量均值，第一轴可以描述大部分方差，而第二轴贡献的额外信息较少。因此，可以通过舍弃第二轴来减少数据维度，而不会丢失太多信息。

将此过程扩展到任意数量的变量和样本。假设一个数据集由对 n 个样本的 p 个参数的测量值组成，存储在 n×p 的数组中。旋转坐标轴并移动原点后，可以计算新的坐标 Yj。第一个主成分 PC1（用 Y1 表示）包含最大的方差，PC2 包含第二大的方差，依此类推。所有主成分共同包含数据集的全部方差，方差主要集中在前面几个主成分中，这些主成分包含了数据集的大部分信息。后面的主成分通常被忽略以减少数据维度。方程中的系数 aij 是主成分载荷，其值代表原始变量对新主成分的相对贡献。如果变量 Xj 在 PC1 中的载荷 aij 接近零，则该变量的影响较小；高正或高负的 aij 表示变量 Xj 有很强的贡献。由原始变量 Xj 加权载荷的线性组合计算得到的新变量值 Yj 称为主成分得分。

2.2 PCA 示例

以下是一个使用合成数据集的示例，展示如何使用 Statistics Toolbox 中的 princomp 函数。

步骤 1：加载数据

clear
data = load('sediments_1.txt');

步骤 2：显示矿物数量的时间序列

subplot(2,1,1)
plot(data(:,1:3)), grid
legend('MinA1','MinA2','MinA3')
xlabel('Sample ID'), ylabel('Quantity')
subplot(2,1,2)
plot(data(:,4:6)), grid
legend('MinB1','MinB2','MinB3')
xlabel('Sample ID'), ylabel('Quantity')

步骤 3：定义样本和矿物标签

for i = 1 : 30
    sample(i,:) = [sprintf('%02.0f',i)];
end
minerals = ['MinA1';'MinA2';'MinA3';'MinB1';'MinB2';'MinB3'];

步骤 4：计算相关矩阵

corrmatrix = corrcoef(data);
corrmatrix = flipud(corrmatrix);
imagesc(corrmatrix), colormap(hot), caxis([-1 1])
title('Correlation Matrix')
axis square, colorbar, hold
set(gca,'XTickLabel',minerals,'YTickLabel',flipud(minerals))

步骤 5：进行 PCA 分析

[pcs,newdata,variances] =  princomp(data);

步骤 6：查看前五个主成分的载荷

pcs(:,1:5)

输出结果如下：

ans =
    0.5377   -0.1595   -0.7201    0.0675   -0.3224
    0.5514   -0.2354    0.5115   -0.4833    0.0730
   -0.3889    0.1213    0.1727    0.1442   -0.5364
   -0.0179    0.2249    0.0322   -0.5469   -0.6666
    0.0040   -0.7541    0.2708    0.3820   -0.3602
    0.5052    0.5340    0.3401    0.5442   -0.1702

步骤 7：可视化主成分

subplot(2,2,1), plot(1:6,pcs(:,1),'o'), axis([1 6 -1 1])
text((1:6)+0.2,pcs(:,1),minerals,'FontSize',8), hold
plot(1:6,zeros(6,1),'r'), title('PC 1')

subplot(2,2,2), plot(1:6,pcs(:,2),'o'), axis([1 6 -1 1])
text((1:6)+0.2,pcs(:,2),minerals,'FontSize',8), hold
plot(1:6,zeros(6,1),'r'), title('PC 2')

subplot(2,2,3), plot(1:6,pcs(:,3),'o'), axis([1 6 -1 1])
text((1:6)+0.2,pcs(:,3),minerals,'FontSize',8), hold
plot(1:6,zeros(6,1),'r'), title('PC 3')

subplot(2,2,4), plot(1:6,pcs(:,4),'o'), axis([1 6 -1 1])
text((1:6)+0.2,pcs(:,4),minerals,'FontSize',8), hold
plot(1:6,zeros(6,1),'r'), title('PC 4')

步骤 8：绘制主成分载荷的双变量图

plot(pcs(:,1),pcs(:,2),'o'), hold on
text(pcs(:,1)+0.02,pcs(:,2),minerals,'FontSize',14)
plot([-0.8 0.8],[0 0],'r')
plot([0 0],[-0.8 0.8],'r')
xlabel('First Principal Component Loads')
ylabel('Second Principal Component Loads')
hold off

步骤 9：绘制主成分得分图

plot(newdata(:,1),newdata(:,2),'+'), hold on
text(newdata(:,1)+0.01,newdata(:,2),sample)
plot([-80 100],[0 0],'r')
plot([0 0],[-60 80],'r')
xlabel('First Principal Component Scores')
ylabel('Second Principal Component Scores')
hold off

步骤 10：计算主成分的方差百分比

percent_explained = 100*variances/sum(variances)

输出结果如下：

percent_explained =
   72.7390
   14.6658
    4.3129
    4.1775
    2.7791
    1.3257

步骤 11：绘制主成分的时间序列图

plot(1:30,newdata(:,1),1:30,newdata(:,2)), grid, 
legend('PC1','PC2')
xlabel('Sample ID'), ylabel('Value')

通过上述分析，可以看出 PC1 主要受第一种源岩的影响，PC2 主要受第二种源岩的影响。这种方法已被用于研究约 33000 年前在 Quebrada de Cafayate 的滑坡堰塞湖中沉积的纹层湖相沉积物的来源。通过比较沉积物中的矿物组合与集水区内潜在源岩的矿物组合，可以确定红色底层纹层的来源是 Santa Maria 盆地中暴露的富铁第三纪沉积岩，而相对暗淡的上层纹层最可能来自集水区山区的变质岩。

2.3 PCA 流程总结

graph LR
    A[加载数据] --> B[显示数据]
    B --> C[计算相关矩阵]
    C --> D[进行 PCA 分析]
    D --> E[查看主成分载荷]
    E --> F[可视化主成分]
    F --> G[绘制主成分载荷双变量图]
    G --> H[绘制主成分得分图]
    H --> I[计算主成分方差百分比]
    I --> J[绘制主成分时间序列图]

3. 独立成分分析（ICA）

3.1 ICA 原理

主成分分析（PCA）是分离混合信号的标准方法，它产生的信号是线性不相关的，这种方法也被称为白化，因为这是白噪声的特征。然而，分离后的信号仍然可能是相互依赖的，即可能存在非线性相关性。独立成分分析（ICA）就是为了研究这类数据而开发的，它将混合信号分离为独立的信号，这些信号是非线性不相关的。快速 ICA 算法使用一个准则来估计独立成分的联合分布的高斯程度，分布越不接近高斯分布，各个成分就越独立。

ICA 面临的问题有时被称为“鸡尾酒会问题”，也称为盲源分离。例如，在一个聚会上，很多人在进行独立的对话，我们听到的是这些对话的混合声音，但难以区分每个对话。我们可以安装一些麦克风，利用 ICA 来分离出各个对话。

3.2 ICA 示例

以下是一个使用三个周期性信号进行混合和分离的示例，比较 PCA 和 ICA 的分离效果。

步骤 1：创建三个周期性信号

clear
i = (1:0.01:10 * pi)';
[dummy index] = sort(sin(i));
s1(index,1) = i/31; s1 = s1 - mean(s1);
s2 = abs(cos(1.89*i)); s2 = s2 - mean(s2);
s3 = sin(3.43*i);
subplot(3,2,1), plot(s1), ylabel('s_1'), title('Raw signals')
subplot(3,2,3), plot(s2), ylabel('s_2')
subplot(3,2,5), plot(s3), ylabel('s_3')

步骤 2：混合信号并添加噪声

randn('state',1);
x = [.1*s1 + .8*s2 + .01*randn(length(i),1), ...
     .4*s1 + .3*s2 + .01*randn(length(i),1), ...
     .1*s1 +   s3  + .02*randn(length(i),1)];
subplot(3,2,2), plot(x(:,1)), ylabel('x_1'), title('Mixed signals')
subplot(3,2,4), plot(x(:,2)), ylabel('x_2')
subplot(3,2,6), plot(x(:,3)), ylabel('x_3')

步骤 3：使用 PCA 分离信号

[E sPCA D] = princomp(x);
sPCA = sPCA./repmat(std(sPCA),length(sPCA),1);
subplot(3,2,1), plot(sPCA(:,1))
ylabel('s_{PCA1}'), title('Separated signals - PCA')
subplot(3,2,3), plot(sPCA(:,2)), ylabel('s_{PCA2}')
subplot(3,2,5), plot(sPCA(:,3)), ylabel('s_{PCA3}')
A_PCA = E * sqrt(diag(D));
W_PCA = inv(sqrt(diag(D))) * E';

步骤 4：使用 FastICA 算法分离信号

rand('state',1);
div = 0;
B = orth(rand(3, 3) - .5);
BOld = zeros(size(B));
while (1 - div) > eps
   B = B * real(inv(B' * B)^(1/2));
   div = min(abs(diag(B' * BOld))); 
   BOld  = B;
   B = (sPCA' * (sPCA * B) .^ 3) / length(sPCA) - 3 * B;
   sICA = sPCA * B;
end
subplot(3,2,2), plot(sICA(:,1)), ylabel('s_{ICA1}'),
   title('Separated signals - ICA')
subplot(3,2,4), plot(sICA(:,2)), ylabel('s_{ICA2}')
subplot(3,2,6), plot(sICA(:,3)), ylabel('s_{ICA3}')

通过比较可以看出，PCA 算法未能令人满意地分离混合信号，特别是锯齿信号未能正确识别，而 ICA 几乎完美地识别出了源信号，唯一明显的差异是噪声水平。

3.3 ICA 流程总结

graph LR
    A[创建周期性信号] --> B[混合信号并添加噪声]
    B --> C[使用 PCA 分离信号]
    C --> D[使用 FastICA 算法分离信号]
    D --> E[比较分离效果]

综上所述，主成分分析（PCA）和独立成分分析（ICA）是处理多元数据和分离混合信号的重要方法。PCA 适用于线性降维和数据可视化，而 ICA 则更擅长处理存在非线性相关性的混合信号分离问题。在实际应用中，可以根据数据的特点和研究目的选择合适的方法。

4. 多元统计分析方法对比

4.1 方法特点对比

方法	主要目的	信号相关性	应用场景
主成分分析（PCA）	降维，理解变量间线性关系，可视化高维数据	线性不相关	地球科学中研究沉积物来源、火山灰层关联等；数据降维以减少计算量和存储需求
独立成分分析（ICA）	分离混合信号为独立成分，处理非线性相关性	非线性不相关	信号处理领域，如语音分离、生物医学信号处理等
聚类分析（CA）	根据对象相似性分组	-	火山灰年代测定中关联火山灰层；微古生物学中比较微化石组合

4.2 性能对比

从前面的示例可以看出，PCA 在处理线性相关的数据时能够有效地减少维度，提取主要信息，但对于存在非线性相关性的数据，分离效果可能不理想。ICA 则专门针对非线性相关性进行处理，能够更好地分离混合信号，但计算复杂度相对较高。

5. 实际应用案例分析

5.1 沉积物来源研究

在研究约 33000 年前在 Quebrada de Cafayate 的滑坡堰塞湖中沉积的纹层湖相沉积物的来源时，使用 PCA 方法取得了良好的效果。具体步骤如下：
1. 数据收集 ：收集沉积物样本，并对其中的矿物成分进行分析，得到包含多种矿物比例的数据集。
2. PCA 分析 ：按照前面介绍的 PCA 步骤进行操作，包括加载数据、计算相关矩阵、进行 PCA 分析等。
3. 结果解释 ：通过分析主成分载荷和得分，确定不同主成分与潜在源岩的关系。例如，PC1 主要受第一种源岩的影响，PC2 主要受第二种源岩的影响。
4. 来源确定 ：比较沉积物中的矿物组合与集水区内潜在源岩的矿物组合，确定红色底层纹层的来源是 Santa Maria 盆地中暴露的富铁第三纪沉积岩，而相对暗淡的上层纹层最可能来自集水区山区的变质岩。

5.2 语音信号分离

在语音信号分离场景中，ICA 能够发挥重要作用。以“鸡尾酒会问题”为例，具体操作步骤如下：
1. 信号采集 ：在聚会现场安装多个麦克风，采集混合的语音信号。
2. ICA 处理 ：使用 FastICA 算法对采集到的混合信号进行分离。
- 首先创建周期性信号并混合，添加噪声模拟实际情况。
- 然后使用 PCA 进行初步处理。
- 最后使用 FastICA 算法迭代计算，得到独立的语音信号。
3. 效果评估 ：通过比较分离后的信号与原始信号，评估分离效果。通常可以观察信号的波形、频谱等特征，判断是否成功分离出各个独立的语音信号。

6. 总结与建议

6.1 总结

多元统计分析中的主成分分析（PCA）、独立成分分析（ICA）和聚类分析（CA）为处理复杂的多元数据提供了强大的工具。PCA 能够有效地减少数据维度，提取主要信息，适用于线性相关的数据；ICA 则专注于分离混合信号为独立成分，处理非线性相关性；聚类分析可根据对象的相似性进行分组，在地球科学和生物科学等领域有广泛应用。

6.2 建议

• 数据预处理 ：在进行多元统计分析之前，对数据进行适当的预处理非常重要。例如，对于 PCA 和 ICA，可能需要进行均值中心化或自缩放等操作，以确保数据的质量和可比性。
• 方法选择 ：根据数据的特点和研究目的选择合适的方法。如果数据主要是线性相关的，且目的是降维和可视化，PCA 是一个不错的选择；如果存在非线性相关性，且需要分离混合信号，ICA 可能更合适；如果需要对对象进行分组，则可以考虑聚类分析。
• 结果验证 ：在得到分析结果后，需要进行验证和解释。可以结合专业知识和实际情况，对主成分、独立成分或聚类结果进行合理的解释，确保结果的可靠性和有效性。

6.3 未来展望

随着数据量的不断增加和数据复杂性的提高，多元统计分析方法将面临更多的挑战和机遇。未来的研究可能会集中在以下几个方面：
1. 算法优化 ：进一步优化 PCA、ICA 和聚类分析等算法，提高计算效率和分离效果。
2. 多方法融合 ：将不同的多元统计分析方法进行融合，以更好地处理复杂的数据和问题。
3. 跨领域应用 ：将多元统计分析方法应用到更多的领域，如人工智能、机器学习等，为解决实际问题提供更有效的手段。

graph LR
    A[数据收集] --> B[数据预处理]
    B --> C{选择方法}
    C -->|PCA| D[主成分分析]
    C -->|ICA| E[独立成分分析]
    C -->|CA| F[聚类分析]
    D --> G[结果解释与验证]
    E --> G
    F --> G
    G --> H[应用与决策]

总之，多元统计分析方法在现代科学研究和工程应用中具有重要的地位，通过合理选择和应用这些方法，可以更好地理解和处理复杂的数据，为解决实际问题提供有力的支持。