14、信号处理中的滤波器设计与分析

信号处理中的滤波器设计与分析

1. 信号处理基础概念

1.1 因果性与稳定性

• 因果性 ：系统响应仅取决于当前和过去的输入，未来输入对当前输出无影响。例如，电信系统等实时系统必须是因果的。在MATLAB中，所有系统和滤波器都按因果性索引，但在地球科学中，常使用非因果滤波器，滤波后输出信号需延迟以补偿因果和非因果索引的差异。
• 稳定性 ：若有限输入对应的输出也是有限的，则系统稳定。在滤波器设计中，稳定性至关重要，若滤波器产生发散输出，需对设计进行修订和改进。

1.2 线性时不变（LTI）系统

LTI系统是一种特殊类型的滤波器，具有诸多优点，易于设计和应用，常用于提取信号中的特定频率成分以降低噪声水平。不过，许多自然系统并非LTI系统，其信噪比常随时间变化。

2. 卷积与滤波

2.1 卷积与滤波的基本概念

卷积是系统变换的数学描述，滤波是卷积过程的应用。以长度为5的滑动平均滤波器为例，输出(y(t))是(x(t - 2))、(x(t - 1))、(x(t))、(x(t + 1))和(x(t + 2))这五个输入值的平均值，即所有输入值乘以(1/5)后求和。该滤波器的权重向量为(b = [0.2 0.2 0.2 0.2 0.2])，由于对称，它只对信号进行平滑处理，不产生时间轴上的偏移。

不同长度的滤波器权重可以不同，如不对称的五权重滤波器(b = [0.05 0.08 0.14 0.26 0.47])，权重总和为1，不会引入额外能量，但会使信号产生