41、均摊复杂度验证：常见数据结构分析

均摊复杂度验证：常见数据结构分析

在算法分析中，均摊复杂度是一种强大的工具，用于评估一系列操作的平均性能。本文将深入探讨几种常见数据结构的均摊复杂度分析，包括二进制计数器、带多重弹出操作的栈、动态表、队列、斜堆、伸展树和伸展堆。

1. 简单示例

1.1 二进制计数器

二进制计数器的状态空间是一个布尔值列表，从最低有效位开始。唯一的操作是“递增”（increment），该操作递归定义如下：

incr [] = [True]
incr (False · bs) = True · bs
incr (True · bs) = False · incr bs

相应的运行时间函数为：

tincr [] = 1
tincr (False · bs) = 1
tincr (True · bs) = tincr bs + 1

我们可以实例化均摊分析理论的参数：

init = []
nxt () = incr
t () = tincr
inv s = True
Φ s = |filter id s|
U () s = 2

分析的关键思想是将状态 $s$ 的势定义为 $|filter id s|$，即 $s$ 中 True 位的数量。可以证明 2 是均摊复杂度的上界，因为：