7、准度量与度量空间在逼近空间中的嵌入研究

准度量与度量空间在逼近空间中的嵌入研究

1. 准度量逼近空间基础

在准度量逼近空间里，局部距离的概念有着明确的定义。某点 $x$ 处的基本局部距离，其实就是在该点“局部化”后的准度量。

对于各种过渡关系，有如下命题：
- 距离到量规的过渡 ：$G = {d \in qMet(X) | \delta_d \leq \delta}$。
- 量规到距离的过渡 ：$\delta = \sup_{d\in G} \delta_d$。
- 量规到下包络算子的过渡 ：$l = \sup_{d\in G} l_d$。
- 量规到上包络算子的过渡 ：$u = \inf_{d\in G} u_d$。
- 量规到极限算子的过渡 ：$\lambda = \sup_{d\in G} \lambda_d$。
- 量规到附着算子的过渡 ：$\alpha = \sup_{d\in G} \alpha_d$。

若 $(X, d)$ 是准度量空间，$F$ 是 $X$ 上的滤子，$x \in X$，则有以下性质：
- $F \to x$ 在 $(X, T_d)$ 中成立，当且仅当 $\alpha_dF(x) = 0$。
- $F \to x$ 在 $(X, T_d)$ 中成立，当且仅当 $\lambda_dF(x) = 0$。

2. 准度量空间在逼近空间中的嵌入

准度量空