HDU 6166 Senior Pan 2017多校第9场

最新推荐文章于 2021-11-06 01:34:12 发布

spring_3_shine

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分类专栏：图论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/spring_3_shine/article/details/77508567

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本文介绍了一种利用二进制优化方法求解特定点集间最短路径问题的有效算法。通过将点集内的点按二进制位划分到两个子集中，并对每个划分进行最短路径计算，从而减少了不必要的计算过程。最终通过20次二进制位的枚举实现了高效求解。

题意：
- 给定一个带权有向图，一个点集（k个点，无相同点）
- 求点集元素间的最短距离
规模：
- $1<=n,m,k<=1e5$
- $1<=w<=1e5$
类型：
- 图论，最短路
- 二进制优化
分析：
- 考虑最暴力的做法，枚举点集里所有点，求单源最短路，复杂度k*nlogm，当然是过不了
- 这里我们优化求最短路的次数
- 纯暴力的做法很容易看出来有多余的计算
- 全集合最短路有两个端点，分别位于两个点集S,T。
- 如果我们能将集合内任意两点，分割到两个点集里，求最短路，那么一定包含全集合的最短路
- 减少分割次数就能优化掉k
- 任意两点的序号的二进制不同，一定有一位二进制位能将两点划分到两个集合
- 枚举二进制位来划分最多20次
时间复杂度&&优化：
- O(20*nlogm)
代码：

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
const int MAXM=1e5+10;
const int INF=0x3fff3fff;


int n,m,k;
int kk[MAXN];
int dist[MAXN];

struct Edge{
    int v,w;
};
vector<Edge> edge[MAXN];
void addedge(int u,int v,int w){
    Edge x;x.v=v;x.w=w;
    edge[u].push_back(x);
}

struct node{
    int x;
    int dis;
    node(int _x=0,int _dis=0):x(_x),dis(_dis){}
    bool operator < (const node &other)const{
        if(dis!=other.dis)return dis>other.dis;
        return x-other.x;
    }
};

priority_queue<node> q;
int vis[MAXN];

int dijstra(){
    int res;
    while(!q.empty()){
        node now=q.top();
        q.pop();
        int u=now.x;
        int dis=now.dis;
        if(vis[u])return dis;
        //vis[u]=1;  //多了这行会wa,毕竟不是单源最短路，目标点也是固定的点集
        for(int i=0;i<edge[u].size();i++){
            int v=edge[u][i].v;
            int w=edge[u][i].w;
            if(dist[v]>dist[u]+w){
                dist[v]=dist[u]+w;
                q.push(node(v,dist[v]));
            }
        }
    }
    return INF;
}

void init(){
    for(int i=0;i<MAXN;i++)dist[i]=INF;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    while(!q.empty())q.pop();

}

int solve(){
    int res=INF;
    for(int i=0;i<20;i++){
        init();
        for(int j=0;j<k;j++){
            int v=kk[j];
            if(v&(1<<i)){
                q.push(node(v,0));
                dist[v]=0;
            }
            else {
                vis[v]=1;
            }
        }
        res=min(res,dijstra());
        init();
        for(int j=0;j<k;j++){
            int v=kk[j];
            if(!( v&(1<<i) )){
                q.push(node(v,0));
                dist[v]=0;
            }
            else {
                vis[v]=1;
            }
        }
        res=min(res,dijstra());

    }
    return res;
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    int kase=0;
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<MAXN;i++)edge[i].clear();
        for(int i=0;i<m;i++){
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            addedge(u,v,w);
        }
        scanf("%d",&k);
        for(int i=0;i<k;i++)scanf("%d",&kk[i]);
        printf("Case #%d: %d\n", ++kase,solve());
    }

    return 0;
}