剑指offer. 62 圆圈中最后的数字（约瑟夫环）

剑指offer.  62 圆圈中最后的数字（约瑟夫环）

题目描述：

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

解题思路：

常规解法：

用list（双向链表）实现一个环形链表，来模拟这个过程

代码：

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n <1 || m < 1)
            return -1;
        list<int> num;
        for(int i=0;i<n;++i){
            num.push_back(i);
        }
        auto cur=num.begin();
        while(num.size()>1){
            for(int i=1;i<m;++i){
                ++cur;
                if(cur==num.end())
                    cur=num.begin();
            }
            
            auto next=++cur;
            if(next==num.end())
                next=num.begin();
            --cur;
            num.erase(cur);
            cur=next;
        }
        return *cur;
    }
};

递推公式解题思路：

约瑟夫环：找递推公式
 
现在先将n个人按照编号进行排序： 
0 1 2 3 … n-1 

假设淘汰
那么第一次被淘汰的人编号一定是m-1(假设m < n，若m > n则为(m-1) mod n)。将被选中的人标记为”#”： 
0 1 2 3 … m-2 # m m+1 m+2 … n-1 
第二轮报数时，起点为m这个候选人。并且只剩下n-1个选手。假如此时把k看作0’，k+1看作1’… 
则对应有：
0        1   2   3  …  m-2    #    m    m+1     m+2   …   n-1 
n-m'                                        0'      1'         2'     ...    n-m-1'

假如在新的报数序号 0’,1’,…,n-2’上再进行一次m报数的选择，该选择为f[n-1]=s' 
但是，该编号s’是在n-1个候选人报数时的编号，并不等于n个人时的编号 ，所以我们还需要将s’转换为对应的s。 
通过观察，s和s’编号相对偏移了m，又因为是在环中，因此得到s = (s'+m) mod n。 
即f[n] = (f[n-1] + m) mod n。
即：

f(n,m) 表示一共有n个人，每次扔第m个人 最后剩下的人的位置
f（n，m）=0;   n=1
f（n，m）=（f（n-1，m）+m）%n;  (n>1)

f（1，m）=0
f（2，m）=（f（1，m）+m）%2
f（3，m）=（f（2，m）+m）%3
....

代码：

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1 || m<1)
			return -1;
		int res=0;
		for(int i=2;i<=n;++i){
			res = (res+m)%i;
		}
		return res;
    }
};

 

相关问题：

求第i次扔的人的位置

递推公式：
f（n，m,i） 表示一共有n个人，每次扔第m个人 第i次扔的人的位置

f（n，m,1）= （m-1）%n
f（n，m，i）=（f（n-1，m，i-1）+m）%n   （i>1）

f(5,4,3)=(f(4,4,2)+4)%5
f(4,4,2)=(f(3,4,1)+4)%4
f(3,4,1)=(4-1) %3

跟最后剩下的人的位置 基本一样的推理过程。假如旧环第i次扔的是x，那这个x跟我旧环先扔1个人，再在n-1的新环里，第i-1次扔的是y，这个y跟x有对应的映射关系

递归版
int solve(int n, int m, int i){
	if(i==1) return (m-1)%n;
	
	return (solve(n-1,m,i-1)+m)%n;
	
}

循环版
int solve1(int n,int m,int i){
	
	int res=(m-1)%(n-i+1);// 初值
	
	for(int j=n-i+2;j<=n;++j){
		res = (res+m)%j;
	}
	
	return res;
}

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