35、概率分布、统计指标与假设检验知识解析

概率分布、统计指标与假设检验知识解析

1. 连续概率分布

连续概率分布在统计学中占据着重要地位，下面为大家介绍几种常见的连续概率分布。
- 正态分布 ：虽然自然界中并不存在真正的正态概率密度函数，但它却是统计学的基础。正态分布由均值 $\mu$ 和方差 $\sigma$ 这两个参数完全确定。不过，自然界中很少有随机变量的取值范围是 $(-\infty, \infty)$。例如，常说一个国家人口的身高呈正态分布，但实际上不会出现身高为 -200cm 或 2000cm 的人。我们要认识到真正的正态分布本身就是不太可能出现的事件，所以在应用时要考虑统计程序对正态假设偏离的稳健性。有些技术对这种偏离很敏感，而有些则不敏感，后者被称为稳健技术。
- $\chi^2$ 分布 ：$\chi^2$ 分布很少单独用于建模，主要作为构建 $t$ 分布和 $F$ 分布的基础。具有 $k$ 自由度的 $\chi^2$ 分布定义在区间 $[0, \infty)$ 上，其均值 $\mu = k$，方差 $\sigma^2 = 2k$。若随机变量 $X$ 服从均值为 $\mu$、方差为 $\sigma$ 的正态分布，那么某个特定的随机变量服从自由度为 1 的 $\chi^2$ 分布。
- $t$ 分布 ：设 $W$ 是服从标准正态分布 $N(0,1)$ 的随机变量，$V$ 是具有 $k$ 自由度的 $\chi^2$ 分布随机变量，且 $W$ 和 $V$ 随机独立，可定义新的随机变量 $T$。具有 $n$ 自由度的 $t$ 分布是关于 0 对称分布的随机变量 $T$ 的分布。
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