20、无迹粒子滤波器（UPF）实验与实现分析

无迹粒子滤波器（UPF）实验与实现分析

一、UPF 实验评估

1.1 实验概述

UPF 的性能在两个估计问题上进行了评估，一个是合成标量估计问题，另一个是关于金融工具定价的实际问题。

1.2 合成实验

1.2.1 实验模型

• 过程模型 ：时间序列由以下过程模型生成：
  [x_{k + 1} = 1 + \sin(\omega t) + \phi_1x_k + v_k]
  其中，(v_k) 是一个伽马分布 (Ga(3, 2)) 的随机变量，用于模拟过程噪声，(\omega = 0.04) 和 (\phi_1 = 0.5) 是标量参数。
• 观测模型 ：使用非平稳观测模型：
  [y_k =
  \begin{cases}
  \phi_2x_k^2 + n_k, & t \leq 30 \
  \phi_3x_k - 2 + n_k, & t > 30
  \end{cases}
  ]
  其中，(\phi_2 = 0.2)，(\phi_3 = 0.5)，观测噪声 (n_k) 服从高斯分布 (n(0, 0.00001))。

1.2.2 实验步骤

• 仅给定有噪声的观测值 (y_k)，使用不同的滤波器来估计潜在的干净状态序列 (x_k)，其中 (k = 1 \cdots 60)。
• 实验重复 100 次，每次运行都进行随机重新初始化。
• 所有粒子滤波器使用 200 个粒子和残差重采样。
• UKF 参数设置为 (\alpha = 1)，(\beta = 0) 和 (\kappa = 2)，这些参数对于标量情况是最优的。

1.2.3 实验结果

MSE	算法	均值	方差
	扩展卡尔曼滤波器（EKF）	0.374	0.015
	无迹卡尔曼滤波器（UKF）	0.280	0.012
	通用粒子滤波器	0.424	0.053
	粒子滤波器：MCMC 移动步	0.417	0.055
	粒子滤波器：EKF 提议	0.310	0.016
	粒子滤波器：EKF 提议和 MCMC 移动步	0.307	0.015
	粒子滤波器：UKF 提议（“无迹粒子滤波器”）	0.070	0.006
	粒子滤波器：UKF 提议和 MCMC 移动步	0.074	0.008

从结果可以明显看出，无迹粒子滤波器（UPF）的性能更优。

1.3 金融期权定价实验

1.3.1 金融期权基本概念

• 衍生品是其价值取决于某些基本现金产品（如利率、股票指数、商品、外汇或债券）的金融工具。
• 看涨期权允许持有者在未来指定日期以预先确定的价格购买现金产品，执行期权的价格称为执行价格，期权到期的日期称为到期时间。
• 看跌期权允许持有者出售基础现金产品。

1.3.2 定价方程

Black - Scholes 推导出了以下欧洲看涨和看跌期权定价的行业标准方程：
- 看涨期权价格：
[C = S\Phi(d_1) - Xe^{-r t_m}\Phi(d_2)]
- 看跌期权价格：
[P = -S\Phi(-d_1) + Xe^{-r t_m}\Phi(-d_2)]
其中，(C) 表示看涨期权价格，(P) 表示看跌期权价格，(S) 是基础现金产品的当前价值，(X) 是期望的执行价格，(t_m) 是到期时间，(\Phi(\cdot)) 是累积正态分布，(d_1) 和 (d_2) 由下式给出：
[d_1 = \frac{\ln(S/X) + (r + \sigma^2/2)t_m}{\sigma\sqrt{t_m}}]
[d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{t_m}]
其中，(\sigma) 是现金产品的（未知）波动率，(r) 是无风险利率。

1.3.3 实验方法

• 将 (r) 和 (\sigma) 视为隐藏状态，(C) 和 (P) 作为输出观测值，(S) 和 (t_m) 视为已知控制信号（输入观测值），这是一个参数估计问题，非线性观测由上述 Black - Scholes 方程给出。
• 通过这种方式，可以计算 (r) 和 (\sigma) 的每日完整概率分布，并判断市场中期权的当前价值是被高估还是低估。

1.3.4 实验结果

以英国富时 100 指数的期权为例，比较了不同算法在执行价格为 2925 的一对期权上的一步预测归一化平方误差，实验重复 100 次，每个粒子滤波器使用 100 个粒子。结果如下表所示：

期权类型	算法	平均归一化平方误差（NSE）
看涨期权	简单预测	0.078
	扩展卡尔曼滤波器（EKF）	0.037
	无迹卡尔曼滤波器（UKF）	0.037
	通用粒子滤波器	0.037
	粒子滤波器：EKF 提议	0.009
	无迹粒子滤波器	0.009
看跌期权	简单预测	0.035
	扩展卡尔曼滤波器（EKF）	0.023
	无迹卡尔曼滤波器（UKF）	0.023
	通用粒子滤波器	0.023
	粒子滤波器：EKF 提议	0.007
	无迹粒子滤波器	0.008

从结果可以看出，EKF 和 UKF 改进提议分布的方法相对于标准粒子滤波器有显著改进，UKF 相对于 EKF 的主要优势在于其易于实现，避免了对 Black - Scholes 方程进行解析求导。

1.4 实验流程总结

graph LR
    A[开始] --> B[合成实验]
    B --> B1[生成时间序列]
    B1 --> B2[设置滤波器参数]
    B2 --> B3[运行滤波器估计状态]
    B3 --> B4[重复实验多次]
    B4 --> B5[记录 MSE 均值和方差]
    A --> C[金融期权定价实验]
    C --> C1[确定期权参数]
    C1 --> C2[设置隐藏状态和观测值]
    C2 --> C3[使用不同算法进行参数估计]
    C3 --> C4[重复实验多次]
    C4 --> C5[记录归一化平方误差]
    B5 --> D[分析实验结果]
    C5 --> D
    D --> E[结束]

二、无迹变换的准确性分析

2.1 无迹变换概述

无迹变换在预测经历非线性变换的随机变量的后验均值和协方差时能达到二阶精度。

2.2 均值准确性分析

2.2.1 真实均值计算

假设先验变量 (x) 围绕均值 (\bar{x}) 被一个零均值干扰 (dx) 扰动，协方差为 (P_x)，则非线性变换 (f(x)) 关于 (\bar{x}) 的泰勒级数展开为：
[f(x) = f(\bar{x} + dx) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(dx \cdot \nabla_x)^n f(x)}{n!}\big| {x = \bar{x}}]
定义算子 (D {dx}^n f) 为：
[D_{dx}^n f = D[(dx \cdot \nabla_x)^n f(x)]\big| {x = \bar{x}}]
则 (y = f(x)) 的泰勒级数展开为：
[y = f(x) = f(\bar{x}) + D {dx}f + \frac{1}{2}D_{dx}^2 f + \frac{1}{3!}D_{dx}^3 f + \frac{1}{4!}D_{dx}^4 f + \cdots]
(y) 的真实均值为：
[\bar{y} = E[y] = E[f(x)] = E\left[f(\bar{x}) + D_{dx}f + \frac{1}{2}D_{dx}^2 f + \frac{1}{3!}D_{dx}^3 f + \frac{1}{4!}D_{dx}^4 f + \cdots\right]]
若 (x) 是对称分布的随机变量，则所有奇数阶矩为零，且 (E[dx dx^T] = P_x)，均值可进一步简化为：
[\bar{y} = f(\bar{x}) + \frac{1}{2}[(\nabla^T P_x \nabla)f(x)]\big| {x = \bar{x}} + E\left[\frac{1}{4!}D {dx}^4 f + \frac{1}{6!}D_{dx}^6 f + \cdots\right]]

2.2.2 UT 预测均值计算

UT 通过传播的 sigma 点计算后验均值，sigma 点为：
[X_i = \bar{x} \pm (\sqrt{L + \lambda})s_i = \bar{x} \pm \tilde{s} i]
其中，(s_i) 表示 (P_x) 的矩阵平方根的第 (i) 列。每个 sigma 点通过非线性函数的传播也可写为关于 (\bar{x}) 的泰勒级数展开：
[Y_i = f(X_i) = f(\bar{x}) + D {\tilde{s} i}f + \frac{1}{2}D {\tilde{s} i}^2 f + \frac{1}{3!}D {\tilde{s} i}^3 f + \frac{1}{4!}D {\tilde{s} i}^4 f + \cdots]
UT 预测均值为：
[\bar{y} {UT} = \frac{\lambda}{L + \lambda}f(\bar{x}) + \frac{1}{2(L + \lambda)}\sum_{i = 1}^{2L}\left[f(\bar{x}) + D_{\tilde{s} i}f + \frac{1}{2}D {\tilde{s} i}^2 f + \frac{1}{3!}D {\tilde{s} i}^3 f + \frac{1}{4!}D {\tilde{s} i}^4 f + \cdots\right]]
由于 sigma 点关于 (\bar{x}) 对称分布，所有奇数阶矩为零，可简化为：
[\bar{y} {UT} = f(\bar{x}) + \frac{1}{2(L + \lambda)}\sum_{i = 1}^{2L}\left[\frac{1}{2}D_{\tilde{s} i}^2 f + \frac{1}{4!}D {\tilde{s} i}^4 f + \frac{1}{6!}D {\tilde{s} i}^6 f + \cdots\right]]
进一步简化可得：
[\bar{y} {UT} = f(\bar{x}) + \frac{1}{2}[(\nabla^T P_x \nabla)f(x)]\big| {x = \bar{x}} + \frac{1}{2(L + \lambda)}\sum {i = 1}^{2L}\left[\frac{1}{4!}D_{\tilde{s} i}^4 f + \frac{1}{6!}D {\tilde{s} i}^6 f + \cdots\right]]
比较 (\bar{y}) 和 (\bar{y} {UT}) 可知，真实后验均值和 UT 计算的均值在三阶以内完全一致，误差仅在一阶及更高阶项中引入。而线性化方法计算的后验均值为 (\bar{y}_{LIN} = f(\bar{x}))，仅在一阶与真实后验均值一致。

2.3 协方差准确性分析

2.3.1 真实协方差计算

真实后验协方差为：
[P_y = E[(y - \bar{y}^T)(y - \bar{y}^T)^T] = E[yy^T] - \bar{y}\bar{y}^T]
将 (y) 的泰勒级数展开式代入并化简可得：
[P_y = A_xP_xA_x^T + \frac{1}{4}\left{[(\nabla^T P_x \nabla)f(x)][(\nabla^T P_x \nabla)f(x)]^T\right}\big| {x = \bar{x}} + E\left[\sum {i = 1}^{\infty}\sum_{j = 1}^{\infty}\frac{1}{i!j!}D_{dx}^i f (D_{dx}^j f)^T\right] - \sum_{i = 1}^{\infty}\sum_{j = 1}^{\infty}\frac{1}{(2i)!(2j)!}E[D_{x}^{2i} f]E[D_{s_x}^{2j} f]^T]
其中，(A_x) 是 (f(x)) 在 (\bar{x}) 处的雅可比矩阵。

2.3.2 UT 预测协方差计算

UT 计算的后验协方差为：
[(P_y) {UT} = A_xP_xA_x^T - \frac{1}{4}\left[(\nabla^T P_x \nabla) f(x)\right]\left[(\nabla^T P_x \nabla) f(x)\right]^T\big| {x = \bar{x}} + \frac{1}{2(L + \lambda)}\sum_{k = 1}^{2L}\sum_{i = 1}^{\infty}\sum_{j = 1}^{\infty}\frac{1}{i!j!}D_{\tilde{s} k}^i f (D {\tilde{s} k}^j f)^T - \sum {i = 1}^{\infty}\sum_{j = 1}^{\infty}\frac{1}{(2i)!(2j)!}4(L + \lambda)^2\sum_{k = 1}^{2L}\sum_{m = 1}^{2L}D_{\tilde{s} k}^{2i} f (D {\tilde{s} m}^{2j} f)^T]
比较可知，UT 计算的后验协方差在前两项是准确的，误差仅在四阶及更高阶矩中引入。而线性化情况截断泰勒级数在第一项后，即 ((P_y) {LIN} = A_xP_xA_x^T)。

2.4 准确性分析总结

无迹变换在计算后验均值和协方差时能达到二阶精度，相对于线性化方法在高阶项的误差更小。如果已知 (x) 先验分布的形状，可将 UT 中的 (b) 参数设置为非零值以最小化某些高阶矩的误差，例如对于高斯分布的 (x)，当 (b = 2) 时，后验分布的峰度误差最小。

三、高效平方根 UKF 实现

3.1 标准 UKF 与平方根 UKF 对比

在标准卡尔曼实现中，状态（或参数）协方差 (P_k) 是递归计算的，UKF 在每个时间步需要进行矩阵平方根运算 (S_kS_k^T = P_k)，使用 Cholesky 分解的复杂度为 (O(\frac{1}{6}L^3))。而在平方根 UKF（SR - UKF）中，(S_k) 直接传播，避免了在每个时间步进行重新分解。

3.2 所使用的线性代数技术

3.2.1 QR 分解

矩阵 (A \in R^{L \times N}) 的 QR 分解为 (A^T = QR)，其中 (Q \in R^{N \times N}) 是正交矩阵，(R \in R^{N \times L}) 是上三角矩阵，且 (N \geq L)。(R) 的上三角部分 (\tilde{R}) 是 (P = AA^T) 的 Cholesky 因子的转置，即 (\tilde{R} = S^T)，使得 (\tilde{R}^T\tilde{R} = AA^T)。使用简写符号 (qrf{\cdot}) 表示仅返回 (\tilde{R}) 的 QR 分解，计算复杂度为 (o(NL^2))。

3.2.2 Cholesky 因子更新

如果 (S) 是 (P = AA^T) 的原始下三角 Cholesky 因子，则 (P \pm \sqrt{n}uu^T) 的 Cholesky 因子表示为 (S = cholupdate{S, u, \pm n})。如果 (u) 是矩阵而不是向量，则结果是使用 (u) 的 (M) 列对 Cholesky 因子进行 (M) 次连续更新，该算法每次更新的复杂度为 (O(L^2))。

3.2.3 高效最小二乘法

方程 ((AA^T)x = A^Tb) 的解也对应于超定最小二乘问题 (Ax = b) 的解，可以使用带主元的 QR 分解（在 Matlab 的 “/” 运算符中实现）高效求解。

3.3 平方根状态估计

3.3.1 初始化

[
\begin{cases}
\hat{x}_0 = E[x_0] \
S_0 = chol\left(E[(x_0 - \hat{x}_0)(x_0 - \hat{x}_0)^T]\right)
\end{cases}
]

3.3.2 时间更新

• 计算 sigma 点：
  [
  \begin{cases}
  XX_{k - 1} = [\hat{x} {k - 1}, \hat{x} {k - 1} + \gamma S_{k - 1}, \hat{x} {k - 1} - \gamma S {k - 1}] \
  XX^* {k|k - 1} = F(XX {k - 1}, u_{k - 1})
  \end{cases}
  ]
• 计算预测状态均值：
  [\hat{x} k^- = \sum {i = 0}^{2L}W^{(m)} iX^* {i,k|k - 1}]
• 计算 Cholesky 因子 (S_k^-)：
  [
  \begin{cases}
  S_k^- = qr\left[\sqrt{W^{(c)} 1}(XX^ _{1:2L,k|k - 1} - \hat{x}_k^-), \sqrt{R_v}\right] \
  S_k^- = cholupdate{S_k^-, X^ {0,k} - \hat{x}_k^-, W^{(c)}_0}
  \end{cases}
  ]

3.3.3 测量更新

• 计算观测预测值：
  [
  \begin{cases}
  YY_{k|k - 1} = H(XX_{k|k - 1}) \
  \hat{y} k^- = \sum {i = 0}^{2L}W^{(m)} iY {i,k|k - 1}
  \end{cases}
  ]
• 计算观测误差协方差的 Cholesky 因子 (S_{\tilde{y} k})：
  [
  \begin{cases}
  S {\tilde{y} k} = qr\left[\sqrt{W^{(c)}_1}(YY {1:2L,k} - \hat{y} k), \sqrt{R {n_k}}\right] \
  S_{\tilde{y} k} = cholupdate{S {\tilde{y} k}, Y {0,k} - \hat{y}_k, W^{(c)}_0}
  \end{cases}
  ]
• 计算卡尔曼增益：
  [
  \begin{cases}
  P_{x_ky_k} = \sum_{i = 0}^{2L}W^{(c)} i(X {i,k|k - 1} - \hat{x} k^-)(Y {i,k|k - 1} - \hat{y} k^-)^T \
  K_k = (P {x_ky_k}/S_{\tilde{y} k}^T)/S {\tilde{y}_k}
  \end{cases}
  ]
• 更新状态估计：
  [\hat{x}_k = \hat{x}_k^- + K_k(y_k - \hat{y}_k^-)]
• 更新状态协方差的 Cholesky 因子：
  [
  \begin{cases}
  U = K_kS_{\tilde{y}_k} \
  S_k = cholupdate{S_k^-, U, -1}
  \end{cases}
  ]

3.4 平方根参数估计

3.4.1 初始化

[
\begin{cases}
\hat{w} 0 = E[w] \
S {w_0} = chol\left(E[(w - \hat{w}_0)(w - \hat{w}_0)^T]\right)
\end{cases}
]

3.4.2 时间更新和 sigma 点计算

• 预测状态均值：
  [\hat{w} k^- = \hat{w} {k - 1}]
• 更新 Cholesky 因子 (S_{w_k}^-) 有两种选择：
• 对应于过去数据的指数加权：(S_{w_k}^- = \lambda_{RLS}^{-1/2}S_{w_{k - 1}})
• 近似退火对角过程噪声协方差 (R_{r_k}) 的影响：(S_{w_k}^- = S_{w_{k - 1}} + D_{r_{k - 1}})
  其中，(D_{r_{k - 1}} = -Diag{S_{w_{k - 1}}} + \sqrt{Diag{S_{w_{k - 1}}}^2 + Diag{R_{r_{k - 1}}}})
• 计算 sigma 点：
  [WW_{k|k - 1} = [\hat{w} k^-, \hat{w}_k^- + \gamma S {w_k}^-, \hat{w} k^- - \gamma S {w_k}^-]]
• 计算预测值：
  [DD_{k|k - 1} = G(x_k, WW_{k|k - 1})]
• 计算预测均值：
  [\hat{d} k = \sum {i = 0}^{2L}W^{(m)} iD {i,k|k - 1}]

3.4.3 测量更新

• 计算观测误差协方差的 Cholesky 因子 (S_{d_k})：
  [
  \begin{cases}
  S_{d_k} = qr\left[\sqrt{W^{(c)} 1}(DD {1:2L,k} - \hat{d} k), \sqrt{R_e}\right] \
  S {d_k} = cholupdate{S_{d_k}, D_{0,k} - \hat{d}_k, W^{(c)}_0}
  \end{cases}
  ]
• 计算卡尔曼增益：
  [
  \begin{cases}
  P_{w_kd_k} = \sum_{i = 0}^{2L}W^{(c)} i(W {i,k|k - 1} - \hat{w} k^-)(D {i,k|k - 1} - \hat{d} k)^T \
  K_k = (P {w_kd_k}/S_{d_k}^T)/S_{d_k}
  \end{cases}
  ]
• 更新状态估计：
  [\hat{w}_k = \hat{w}_k^- + K_k(d_k - \hat{d}_k)]
• 更新状态协方差的 Cholesky 因子：
  [
  \begin{cases}
  U = K_kS_{d_k} \
  S_{w_k} = cholupdate{S_{w_k}^-, U, -1}
  \end{cases}
  ]

3.5 平方根 UKF 实现总结

平方根 UKF 在状态估计时复杂度一般仍为 (O(L^3))，但具有更好的数值特性，如保证状态协方差的半正定性。对于参数估计的特殊状态空间形式，可实现 (O(L^2)) 的复杂度，与 EKF 参数估计相当。通过使用 QR 分解、Cholesky 因子更新和高效最小二乘法等线性代数技术，避免了在每个时间步进行矩阵平方根的重新分解，提高了计算效率。

graph LR
    A[开始] --> B[平方根状态估计]
    B --> B1[初始化]
    B1 --> B2[时间更新]
    B2 --> B3[测量更新]
    A --> C[平方根参数估计]
    C --> C1[初始化]
    C1 --> C2[时间更新和 sigma 点计算]
    C2 --> C3[测量更新]
    B3 --> D[结束状态估计]
    C3 --> D[结束参数估计]
    D --> E[结束]

综上所述，无迹粒子滤波器（UPF）在合成实验和金融期权定价实验中都展现出了良好的性能，无迹变换在计算后验均值和协方差时具有较高的准确性，而平方根 UKF 实现提高了计算效率和数值稳定性。这些技术在状态估计和参数估计等领域具有重要的应用价值。

四、不同滤波器性能综合对比

4.1 合成实验性能对比

在合成实验中，使用不同的滤波器对潜在的干净状态序列 (x_k) 进行估计，各滤波器的均方误差（MSE）均值和方差如下表所示：
| MSE | 算法 | 均值 | 方差 |
| — | — | — | — |
| | 扩展卡尔曼滤波器（EKF） | 0.374 | 0.015 |
| | 无迹卡尔曼滤波器（UKF） | 0.280 | 0.012 |
| | 通用粒子滤波器 | 0.424 | 0.053 |
| | 粒子滤波器：MCMC 移动步 | 0.417 | 0.055 |
| | 粒子滤波器：EKF 提议 | 0.310 | 0.016 |
| | 粒子滤波器：EKF 提议和 MCMC 移动步 | 0.307 | 0.015 |
| | 粒子滤波器：UKF 提议（“无迹粒子滤波器”） | 0.070 | 0.006 |
| | 粒子滤波器：UKF 提议和 MCMC 移动步 | 0.074 | 0.008 |

从表格数据可以看出，无迹粒子滤波器（UPF）的 MSE 均值和方差都明显低于其他滤波器，说明其在合成实验中的性能最优。扩展卡尔曼滤波器（EKF）和无迹卡尔曼滤波器（UKF）的性能也相对较好，但与 UPF 相比仍有一定差距。通用粒子滤波器及其相关改进版本的性能相对较差，尤其是 MSE 方差较大，说明其估计结果的稳定性不如 UPF。

4.2 金融期权定价实验性能对比

在金融期权定价实验中，比较了不同算法在执行价格为 2925 的一对期权上的一步预测归一化平方误差（NSE），结果如下表所示：
| 期权类型 | 算法 | 平均归一化平方误差（NSE） |
| — | — | — |
| 看涨期权 | 简单预测 | 0.078 |
| | 扩展卡尔曼滤波器（EKF） | 0.037 |
| | 无迹卡尔曼滤波器（UKF） | 0.037 |
| | 通用粒子滤波器 | 0.037 |
| | 粒子滤波器：EKF 提议 | 0.009 |
| | 无迹粒子滤波器 | 0.009 |
| 看跌期权 | 简单预测 | 0.035 |
| | 扩展卡尔曼滤波器（EKF） | 0.023 |
| | 无迹卡尔曼滤波器（UKF） | 0.023 |
| | 通用粒子滤波器 | 0.023 |
| | 粒子滤波器：EKF 提议 | 0.007 |
| | 无迹粒子滤波器 | 0.008 |

从这个表格可以看出，简单预测的 NSE 最大，说明其预测效果最差。EKF、UKF 和通用粒子滤波器的性能相当，但使用 EKF 提议的粒子滤波器和无迹粒子滤波器的 NSE 明显更小，表明它们在金融期权定价实验中的预测精度更高。其中，使用 EKF 提议的粒子滤波器在看跌期权上的 NSE 最小，无迹粒子滤波器在看涨期权和看跌期权上的表现也非常优秀。

4.3 性能对比总结

通过合成实验和金融期权定价实验的性能对比，可以得出以下结论：
- 无迹粒子滤波器（UPF）在两个实验中都表现出了卓越的性能，无论是 MSE 还是 NSE 都相对较小，说明其在状态估计和参数估计方面具有较高的准确性和稳定性。
- 扩展卡尔曼滤波器（EKF）和无迹卡尔曼滤波器（UKF）的性能也较为出色，但在某些情况下不如 UPF。UKF 相对于 EKF 的优势在于其易于实现，避免了解析求导的过程。
- 通用粒子滤波器及其相关改进版本的性能相对较弱，尤其是在稳定性方面不如 UPF 和使用 EKF 提议的粒子滤波器。

graph LR
    A[合成实验] --> B[不同滤波器 MSE 对比]
    B --> C[UPF 性能最优]
    D[金融期权定价实验] --> E[不同算法 NSE 对比]
    E --> F[UPF 和 EKF 提议粒子滤波器精度高]
    C --> G[性能总结]
    F --> G
    G --> H[UPF 综合性能最佳]

五、无迹卡尔曼滤波器（UKF）的优势与局限性

5.1 UKF 的优势

5.1.1 估计精度更高

UKF 计算状态估计的均值和协方差可以达到二阶或更高阶，而扩展卡尔曼滤波器（EKF）仅为一阶。这使得 UKF 能够更准确地实现最优递归估计方程，为状态估计和参数估计提供更精确的结果。在合成实验和金融期权定价实验中，UKF 的性能往往优于 EKF，充分体现了其在估计精度上的优势。

5.1.2 计算复杂度相当

虽然 UKF 的方程看起来比 EKF 更复杂，但实际计算复杂度相当。对于状态估计，两者通常都是 (O(L^3)) 复杂度（(L) 为状态维度）；对于参数估计，两者都是 (O(L^2)) 复杂度（(L) 为参数数量）。此外，通过高效的平方根 UKF 实现，还可以进一步提高计算效率和数值稳定性。

5.1.3 易于实现

与 EKF 不同，UKF 不需要计算解析导数（雅可比矩阵或海森矩阵）。在系统是“黑盒”模型，内部动态方程不可用的情况下，EKF 需要通过分析重新推导系统或使用代价高昂且不准确的数值方法（如扰动法）来求导，而 UKF 仅依赖于对状态随机变量先验分布的确定性抽样进行函数评估，从编码角度来看，更易于实现通用和模块化的代码。

5.2 UKF 的局限性

5.2.1 高斯假设限制

UKF 和 EKF 一样，对状态随机变量的概率密度做出了高斯假设。在许多实际应用中，这种假设是有效的，并且已经成功实现了许多基于此假设的应用。然而，对于某些问题，如多模态目标跟踪，高斯假设不再适用，此时 UKF（或 EKF）的应用就会受到限制，需要使用更强大但计算成本更高的滤波方法，如粒子滤波器。

5.2.2 参数选择不确定

UKF 需要选择三个无迹变换参数（(\alpha)、(\beta) 和 (\kappa)），虽然有一些选择这些参数的指导原则，但最优选择显然取决于具体问题，目前尚未完全明确。一般来说，参数设置对状态估计的影响不大，但对参数估计的性能和收敛特性有较大影响。

5.3 UKF 应用建议

综合考虑 UKF 的优势和局限性，在实际应用中可以根据具体问题进行选择：
- 如果问题可以近似满足高斯假设，并且需要较高的估计精度和易于实现的算法，UKF 是一个不错的选择。
- 对于不满足高斯假设的问题，如多模态目标跟踪，建议使用粒子滤波器等更复杂的滤波方法。
- 在使用 UKF 时，需要根据具体问题仔细选择无迹变换参数，以获得更好的性能和收敛特性。

graph LR
    A[UKF 优势] --> B[估计精度高]
    A --> C[计算复杂度相当]
    A --> D[易于实现]
    E[UKF 局限性] --> F[高斯假设限制]
    E --> G[参数选择不确定]
    B --> H[应用建议]
    C --> H
    D --> H
    F --> H
    G --> H
    H --> I[根据问题合理选择]

六、总结与展望

6.1 总结

本文围绕无迹粒子滤波器（UPF）和无迹卡尔曼滤波器（UKF）展开了详细的研究，通过合成实验和金融期权定价实验评估了不同滤波器的性能，并对无迹变换的准确性和高效平方根 UKF 实现进行了分析。主要结论如下：
- 无迹粒子滤波器（UPF）在合成实验和金融期权定价实验中表现出色，具有较高的准确性和稳定性，是一种优秀的状态估计和参数估计方法。
- 无迹卡尔曼滤波器（UKF）相对于扩展卡尔曼滤波器（EKF）具有估计精度高、计算复杂度相当和易于实现等优势，但也存在高斯假设限制和参数选择不确定的局限性。
- 高效平方根 UKF 实现通过使用 QR 分解、Cholesky 因子更新和高效最小二乘法等线性代数技术，避免了在每个时间步进行矩阵平方根的重新分解，提高了计算效率和数值稳定性。

6.2 展望

虽然 UKF 和 UPF 在许多应用中已经取得了良好的效果，但仍有一些领域值得进一步研究和探索：
- 参数自适应选择 ：目前 UKF 的无迹变换参数选择还存在一定的不确定性，未来可以研究开发一种统一的自适应方法来计算这些参数的最优值，以提高 UKF 在不同问题中的性能和收敛特性。
- 噪声协方差估计 ：利用 UKF 进行噪声协方差的估计是一个有潜力的研究方向，可以进一步提高滤波器的性能和鲁棒性。
- 扩展到递归架构 ：将 UKF 扩展到需要动态导数的递归架构中，如循环神经网络，以满足更复杂系统的估计需求。
- 与其他算法结合 ：探索 UKF 和 UPF 与其他机器学习算法（如深度学习）的结合，以实现更强大的数据分析和处理能力。

通过不断的研究和改进，无迹卡尔曼滤波器和无迹粒子滤波器有望在更多领域得到广泛应用，为解决实际问题提供更有效的方法和工具。

graph LR
    A[总结] --> B[UPF 性能出色]
    A --> C[UKF 优势与局限]
    A --> D[高效平方根 UKF 提高效率]
    B --> E[展望]
    C --> E
    D --> E
    E --> F[参数自适应选择]
    E --> G[噪声协方差估计]
    E --> H[扩展到递归架构]
    E --> I[与其他算法结合]