63、算子类 (E,F) 的矩阵类特征描述

算子类 (E,F) 的矩阵类特征描述

1. 算子类 (E,F) 的定义与性质

算子类 (E,F) 描述了从一个序列空间 E 映射到另一个序列空间 F 的矩阵类。具体来说，假设 E 和 F 是两个序列空间，A 是一个无穷矩阵，包含从一个巴拿赫空间 X 到另一个巴拿赫空间 Y 的线性算子 Ank。我们说 A 属于矩阵类 (E,F)，当且仅当对于每一个 x ∈ E，矩阵 A 将 x 映射到 F 中的序列。这一定义不仅涵盖了经典的标量矩阵，还包括了更为复杂的算子矩阵。

1.1 矩阵类 (E,F) 的定义

设 E 和 F 是两个序列空间，A = (Ank) 是一个无穷矩阵，包含从巴拿赫空间 X 到巴拿赫空间 Y 的线性算子 Ank。那么 A 属于矩阵类 (E,F) 当且仅当对于每一个 x ∈ E，序列 Ax ∈ F。具体来说：

[ A \in (E,F) \iff \forall x \in E, Ax \in F ]

1.2 矩阵类 (E,F) 的性质

矩阵类 (E,F) 具有一些重要的性质，这些性质有助于我们理解和应用这些矩阵类。以下是几个关键性质：

• 线性 ：矩阵类 (E,F) 是线性的，即如果 A 和 B 都属于 (E,F)，那么对于任意常数 α 和 β，αA + βB 也属于 (E,F)。
• 封闭性 ：如果 A 和 B 都属于 (E,F)，那么 AB 也属于 (E,F)。
• 对偶性 ：矩阵类 (E,F) 的对偶空间可以定义为