《程序是怎样跑起来的》读书笔记之第三章计算机进行小数运算时出错的原因

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本文介绍了二进制数的基本概念，包括二进制数到十进制数的转换、二进制数的浮点数表示方法，以及计算机内部如何处理小数等问题。并探讨了计算机运算出错的原因及解决办法。

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1 热身

二进制数0.1，用十进制数表示的话是多少？
答：0.5 = 2的-1次方。
用小数点后有3位的二进制数，能表示十进制数0.625吗？
答：能。0.101。
将小树分为符号、尾数、基数、指数4部分进行表现得形式称为什么？
答：浮点数。
二进制数的基数是什么？
答：2。
通过把0作为数值范围的中间值，从而在不适用符号位的情况下来表示负数的表示方法称为什么？
答：EXCESS系统表现。
10101100.01010011这个二进制数，用十六进制数来表示的话是什么？
答：AC.53。要点。二进制的4位相当于十六进制的1位。

2 知识点

1. 计算机运算出错的原因是什么？

答：
- 有一些十进制数的小数是无法用二进制数来表示的！
- 首先，先明确，小数同样适用于位权的思想。小数后的数位的权依次为-1，-2，-3….

二进制数	十进制数
0.0000	0
0.0001	0.0625
0.0010	0.125
0.0011	0.1857
0.0100	0.25
0.0101	0.3125

……
- 我们可以发现，当二进制的小数点是连续的时候，他对应的十进制的小数并不是连续的。所以，有很多十进制的小数是无法用二进制来表示的。这个时候，只能拓展二进制后小数的数位，比如，十进制的0.1，转换为二进制以后，就变成了0.00011001100…(1100不断循环出现)这样的循环小数，这根无法用十进制数来表示1/3是一样的道理。
- 所以，当要表示0.1的时候，用二进制来存储的话，只能是一个近似数，近似数的位数与存储0.1的空间（long,double）挂钩。

2. 计算机内部是如何表示小数的？

答：
- 首先需要明确的是，计算内部中是无法用1011.0011这样的带小数点的形式来表示小数的。
- 计算机中是使用浮点数来表示小数的。浮点类型一般有两种，分别是float（单精度浮点型，32位）和double（双精度浮点型，64位）。因为有位数的约束，所以肯定是有取值范围的！并且，在允许的取值范围中，肯定有一些循环小数是无法正确表示的。

3. 什么是浮点数？

答：是指用符号、尾数、基数、指数四个部分来表示小数。计算机使用二进制，所以基数是2，所以，实际的数据中可以不用考虑基数，只考虑符号、尾数、指数这三个部分即可表浮点数。形如：
+-m x n^e
其中，+-为符号，m为尾数，n为基数，e为指数。

4. 浮点数的表现方式？

答：一般使用IEEE（美国电气和电子工程师协会）的标准。IEEE的内部构造如下图所示：

双精度浮点数（64位):
    1位        11位             52位
<--------><----------><--------------------->
  符号部分    指数部分          尾数部分

单精度浮点数（32位):
    1位        8位              23位
<--------><----------><--------------------->
  符号部分    指数部分          尾数部分

符号部分，是使用一个数据位来表示数值符号，1表示负，0表示正。
尾数部分，用的是“将小数点前面的值固定为1的正则表达式”。
指数部分，用的是“EXCESS的系统表现”。

5. 计算机中小数点的正则表达式？

答：使用的是：将小数点前面的值固定为1的正则表达式。具体来说，就是将二进制表示的小数左移或者右移（逻辑位移）数次后，整数的第1位变成1，第1位之后（注意，是指整数部分的第2，3，4，5…位）的数位都变成0，并且，第1位在实际的数据中的不保存的。相当于节约了一个数位来保存数据，扩大了可以表示的数据范围。

单精度浮点数表示：

1011.0011                     ---原始数据
0001.0110011                  ---右移，使整数部分的第一位表成1，第一位之后的位数都变成0
0001.01100110000000000000000  ---确保小数点右边的长度为32位
01100110000000000000000       ---只保存小数点后部分

6.EXCESS系统是啥？

答：EXCESS系统，是同时存储正数和负数的一种方式。简单来说，将表示范围的中间值设置为0,使得负数不需要用符号来表示。
单精度浮点（32位）指数部分的系统表现：
float中指数部分占8位，所以可以表示2的8次方=255；
取中间的数127，把他当做0；那么：

实际的值（二进制）	实际的值（十进制）	EXCESS系统表现（十进制）
11111111	255	128（=255-127）
11111110	254	127（=254-127）
…	…	…
01111111	127	0（=127-127）
…	…	…
00000000	0	-127（=0-127）

7.正则表达式与EXCESS系统的结合？

答：十进制数0.75在计算机中float表示为

0-01111110-10000000000000000000000
其中，
符号位0，表示是正数；
指数部分01111110，转化为十进制是126，EXCESS系统表现为126-127=-1；
尾数部分10000000000000000000000，表示二进制数1.10000000000000000000000（因为0.1默认是不保存，尾数部分只存了1.以后的部分）；
所以，用二进制数表示为1.1x2^(-1),
用十进制表示位1.5x2^(-1) = 0.75;

需要注意的是，在转换的过程中，指数是多少，是根据将尾数部分位移的过程中确定的，左移，则表示是2的负数次方，右移，表示2的正数次方。移动了多少位，则表示指数的绝对值是多少。