HDU 1565——方格取数(1)

本文探讨了状态压缩DP的应用,并通过实例展示了如何利用该技术解决涉及复杂矩阵操作的问题。主要内容包括状态压缩DP的基本概念、算法实现以及在具体场景中的应用。通过详细解释和示例代码,读者能够深入理解状态压缩DP在处理大型状态空间问题时的高效性和实用性。

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状态压缩DP

每行最多有20个格子,每个格子取用1表示,不取用0表示。

3

75 15 21

75 15 28

34 70 5

188

这样每一行的状态都能用一个数字来,例如75 15 21,如果取75和21,则用101也就是5.

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int map[24][24];
int num[24];
int str[17720],N;
int dp[2][17720];

bool judge(int x)
{
    int end=0;
    while(x)
    {
        if(end==1&&x%2)
        	return 0;
        end=x%2;
        x/=2;
    }
    return 1;
}

void init()
{
	int i;
	num[1]=1;
	for(i=2;i<=20;i++)
		num[i]=num[i-1]<<1;
	N=1;
	for(i=1;i<=num[20];i++)
		if(judge(i))
			str[N++]=i;
	//	cout<<N;  //N=17711 在这里可以计算出取得格子不相连的状态数

}

int Max(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}

int main()
{
	int n;
	int max;
	int i,j;
	init();
	while(cin>>n)
	{
		int i,j,k;
		max=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
			for(j=1;j<=n;j++)
				cin>>map[i][j];
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		
		for(i=1;i<=N;i++)//考虑第一层的状态
		{
			if(str[i]>num[n+1])//状态
				break;
			for(j=1;j<=n;j++)//计算当前状态能获得的权值
			{
				if(str[i]&num[j])
					dp[0][i]+=map[1][j];
			}
		}
		for(k=2;k<=n;k++)
		{
			for(i=1;i<=N;i++)
			{
				int temp=0;
				if(str[i]>num[n+1])
					break;
				for(j=1;j<=n;j++)
				{	
					if(str[i]&num[j])
						temp+=map[k][j];	
				}
				for(j=1;j<=N;j++)
				{
					if(!(str[i]&str[j]))
						dp[1][i]=Max(dp[1][i],dp[0][j]+temp);
				}	
			}
			for(i=1;i<=N;i++)
			{
				if(str[i]>num[n+1])
					break;
				dp[0][i]=dp[1][i];
				dp[1][i]=0;
			}
		}
		max=0;
		for(i=1;i<=N;i++)
		{
			if(str[i]>num[n+1])
					break;
			max=Max(dp[0][i],max);
		}
		cout<<max<<endl;
	}
	return 0;
}


### HDU1565 方格 动态规划 解题思路 对于给定的一个 \( n \times n \) 的棋盘,其中每个格子内含有一个非负值。目标是从这些格子里选一些,使得任何两个被选中的所在的位置没有公共边界(即它们不是上下左右相邻),并且使选出的之和尽可能大。 #### 构建状态转移方程 为了实现这一目的,可以定义二维组 `dp` 来存储到达某位置的最大累积值: - 设 `dp[i][j]` 表示当考虑到第 i 行 j 列时能够获得的最大价值。 初始化阶段,设置第一行的据作为基础情况处理;之后通过遍历整个矩阵来更新每一个可能的状态。具体来说,在计算某个特定单元 `(i, j)` 处的结果之前,应该先考察其上方以及左上角、右上角三个方向上的元素是否已经被访问过,并据此调整当前节点所能达到的最佳得分[^1]。 ```cpp for (int i = 0; i < N; ++i){ for (int j = 0; j < M; ++j){ dp[i][j] = grid[i][j]; // 上面一排的情况 if(i > 0 && !conflict(i,j,i-1,j)) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j] + grid[i][j]); // 左斜线方向 if(i > 0 && j > 0 && !conflict(i,j,i-1,j-1)) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + grid[i][j]); // 右斜线方向 if(i > 0 && j+1 < M && !conflict(i,j,i-1,j+1)) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j+1] + grid[i][j]); } } ``` 这里需要注意的是冲突检测函 `conflict()` ,用于判断两格之间是否存在直接连接关系。如果存在,则不允许同时选择这两格内的字相加到路径之中去。 #### 寻找最优解 最终的答案将是最后一行中所有列的最大值之一,因为这代表了从起点出发直到终点结束可以获得的最大收益。可以通过简单的循环找到这个最大值并返回它作为结果输出。 ```cpp // 找到最后一行的最大值 __int64 result = 0; for(int col = 0; col < M; ++col) { result = max(result, dp[N-1][col]); } cout << "Maximum sum is: " << result << endl; ``` 上述方法利用了动态规划的思想有效地解决了该问题,时间复杂度大约为 O(n*m),空间复杂度同样决于输入规模大小。
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